Bias von Parameterschätzer für Binomialverteilung aus Momentenmethode

15.12.2011, 20:51	qoou	Auf diesen Beitrag antworten »
Bias von Parameterschätzer für Binomialverteilung aus Momentenmethode Meine Frage: Hallo, ich habe die Aufgabe von einer Binomial-Verteilung mit Hilfe der Momentenmethode einen Schätzer für $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ (Trefferwahrscheinlichkeit) und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (Anzahl der Versuche). $\begin{eqnarray} X_1, \dots, X_n \end{eqnarray}$ sind Zufallsvariablen, für die gilt $\begin{eqnarray} X_i \sim B(m;p) \end{eqnarray}$ . Des Weiteren sind sie unabhängig voneinander und es gilt $\begin{eqnarray} \mu = mp = E(X_i) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 = mp(1-p) = var(X_i) \end{eqnarray}$ . Die Momente sind: $\begin{eqnarray} M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu = mp \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \mu^2 + \sigma^2 = (mp)^2 + mp(1-p) \end{eqnarray}$ Für die Schätzer habe nach der Momentenmethode folgende Ergebnisse: $\begin{eqnarray} \hat{m} = \frac{M}{p} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat{p} = -\frac{M_2}{M} + M + 1 \end{eqnarray}$ So nun soll ich den Bias dieser beiden Schätzer untersuchen... Und ich frage mich wie ich den Erwartungswert von der resultierenden Schätzfunktion bestimmen soll. (Tja, oder ob ich schon vorher was komplett verkehrt gemacht habe.) Schönen Gruß Meine Ideen: Ok, vom Prinzip her muss ich ja nur den Erwartungswert der Schätzfunktionen bestimmen. Für $\begin{eqnarray} \hat{p} \end{eqnarray}$ wäre das dann: $\begin{eqnarray} E(\hat{p}) &=& E \left(-\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i} + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i + 1 \right)\\<br /> &=& E\left(-\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}\right) + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) + 1<br /> &=& E\left(-\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i}\right) + \mu + 1 \end{eqnarray}$ Das Problem ist der erste übriggebliebene Erwartungswert, weil ich keine Idee habe, wie ich den Erwartungswert von dem Bruch bestimmen könnte. Man könnte es natürlich noch anders zusammenfassen, sodass es so aussieht: $\begin{eqnarray} E(\hat{p}) = E \left(-\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2}{\overline{X}} \right) + 1 \end{eqnarray}$ Und es gilt: $\begin{eqnarray} \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$

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