Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im regelmäßigen n-Eck - Formel

15.12.2011, 23:15	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im regelmäßigen n-Eck - Formel Ich habe versucht einen systematischen Weg zu finden, die Schnittpunkte der Diagonalen im regelmäßigen n-Eck allgemein in eine Formel zu fassen. Die Diagonale eines n-Ecks ist die Gerade von jeder einzelnen der n Ecken zu den anderen, ohne dabei über die Randlinien der Figur zu laufen. für die Anzahl der Diagonalen (d) habe ich folgenden Ausdruck herausgefunden: $\begin{eqnarray} d=\frac{n(n-3)}{2}\quad\quad \text{für}\quad n>2\quad\wedge\quad n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n=\{ 3,4,5,6 \} \end{eqnarray}$ trifft das zu, und vermutlich auch für $\begin{eqnarray} n>6 \end{eqnarray}$ Nun wollte ich die Anzahl der Schnittpunkte (s) allgemein angeben: für $\begin{eqnarray} n=\{4,5,6 \} \end{eqnarray}$ habe ich folgende Daten: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} n & d & s:d \\ 4 & 2 & 1 \\ 5 & 5 & 2 \\ 6 & 9 & 3\end{vmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s:d \end{eqnarray}$ ist das Verhältnis Schnittpunkte je Diagonale, d.h. wie oft schneidet eine einzige Diagonale des n-Ecks eine andere Diagonale. $\begin{eqnarray} \frac{s}{d}=n-3 \quad\quad \text{für}\quad n>2\quad\wedge\quad n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ umstellen ergab: $\begin{eqnarray} s=(n-3)d \end{eqnarray}$ durch probieren habe ich dann herausgefunden, das ich noch durch 2 dividieren muss. $\begin{eqnarray} s=\frac{(n-3)d}{2}\quad\quad \text{für}\quad n>2\quad\wedge\quad n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ das ergab dann die glorreiche Formel: $\begin{eqnarray} s=\frac{n(n-3)(n-3)}{4}\quad\quad \text{für}\quad n>2\quad\wedge\quad n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ Nur: trifft sie z.B. nicht für $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ zu. Ich habe 13 Schnittpunkte gezählt, die Formel ergibt aber 13,5 Ansonnsten ergiebt sie aber in den allermeisten Fällen schöne ganze Zahlen, nur sie ist halt nicht perfekt. Existiert eine vollkommene Beschreibung für jedes n? Habe ich vielleicht etwas übersehen? Grüße
16.12.2011, 01:48	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gib einmal den Suchbegriff Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen im regelmäßigen n-Eck in Google ein, du wirst staunen. Der 2. und 3. Treffer sind sehr informativ. mY+
16.12.2011, 09:43	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, da ist etwas Gutes dabei. Ich hab versucht, möglichst viel allein ohne google'n herauszufinden, und ich bin ganz zufireden. Mit längerem Nachdenken hätte ich vielleicht ein besseres Ergebnis erziehlen können, denn dann hätte ich gerade n von ungeraden n unterschieden. Aber ich bin zufrieden!
16.12.2011, 10:15	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Für geradzahliges $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ muss das richtige $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ bei Division durch $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ den Rest 1 lassen - Begründung: Der eine Punkt ist der Mittelpunkt, der insbesondere auch der gleichzeitige Schnittpunkt von $\begin{eqnarray} \frac{n}{2} \end{eqnarray}$ Diagonalen ist. Alle anderen Schnittpunkte verteilen sich symmetrisch bzw. periodisch auf die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ vom Mittelpunkt ausgehenden Sektoren, d.h. in jedem der n Sektoren befinden sich jeweils die gleiche Anzahl Schnittpunkte. Siehe auch die kürzliche Aufgabe im Mathe-Adventskalender (ich denke, ich habe hier dazu nicht zuviel verraten).

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