Terminale Sigma-Algebra

11.01.2007, 19:29

Ambrosius

Terminale Sigma-Algebra

Ich habe eine Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ von Zufallsvariablen und definiere $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_n := \sigma (X_n, X_{n+1} , X_{n+2}, ....) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , dann heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_{\infty} := \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \mathcal{G}_n \end{eqnarray*}$ terminale $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebra von $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ und jedes Element aus der terminalen sigma-Algebra terminales Ereignis.

Wie genau, habe ich die Mengen $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_n \end{eqnarray*}$ zu verstehen?

z.B. $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_1 = \sigma (X_1) \end{eqnarray*}$ Ich würd sagen, das ist die $\begin{eqnarray*} \sigma - \end{eqnarray*}$ Algebra, die von allen Realisationen von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ erzeugt wird. Richtig so??

11.01.2007, 19:50

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Irrtum:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{G}_1 = \sigma (X_1, X_2 , \ldots) \end{eqnarray*}$ ist die kleinste Sigma-Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , bzgl. der alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ deiner Folge tatsächlich Zufallsgrößen (=messbar) sind.

Am besten versteht man diese Sigma-Algebra der terminalen Ereignisse, wenn man mal ein paar Beispiele anschaut:

Seien z.B. $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,\ldots \end{eqnarray*}$ Würfelergebnisse. Dann liegt das Ereignis

A = "im einemillionsten Wurf wird eine 6 gewürfelt"

nicht in dieser Sigma-Algebra, wohl aber ein Ereignis wie

B = "es wird unendlich mal eine 1 gewürfelt"

also alles Ereignisse, deren Eintreten nicht vom Verhalten der Zufallsgrößen eines beliebig langen, aber endlichen Anfangsstückes abhängt.

11.01.2007, 19:57

Ambrosius

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ok, mein beispiel mit N=1 war natürlich unsinn, wie mir jetzt aufgefallen ist.

ich denke ich hatte ein grundsätzliches verständnisproblem:

Wenn ich also ZV's $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ habe, dann ist also z.B. $\begin{eqnarray*} \sigma (X_1,X_2, X_3) \end{eqnarray*}$ , die kleinste sigma-Algebra bezüglich der die ZV'S messbar sind.

und nicht der von den realisationen der ZV's erzeugte sigma-Algebra

So stimmts dann???

11.01.2007, 19:58

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Zitat:

Original von Ambrosius
von den realisationen der ZV's erzeugte sigma-Algebra

Diese sprachliche Formulierung kenne ich einfach nicht. Mag sein, dass du das richtige damit meinst.

11.01.2007, 20:03

Ambrosius

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so dachte ich : $\begin{eqnarray*} \sigma (X_1) = \sigma (\{ x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega \mbox{mit} X(\omega) = x\} ) \end{eqnarray*}$

11.01.2007, 20:13

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Nein, das stimmt i.a. nicht:

$\begin{eqnarray*} W=\{ x \in \mathbb{R} \mid \exists \omega \in \Omega \mbox{mit} X(\omega) = x\} \end{eqnarray*}$

ist nichts weiter als der Wertebereich der Zufallsgröße. Und daraus würde dann

$\begin{eqnarray*} \sigma(W) = \{ \emptyset, W, \mathbb{R}\setminus W, \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$

folgen - das ist eine Sigma-Algebra ohne wirklich wichtige Bedeutung für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$

11.01.2007, 20:15

Ambrosius

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hmm, das macht natürlich Sinn. Dann hatte ich die Definition falsch verstanden, aber zum glück gibt es dieses Board. Danke für deine (vor allem schnelle Hilfe), Arthur smile

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