Diskrete Zufallsvariable

16.12.2011, 12:37

loyloep

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Diskrete Zufallsvariable

Der Weihnachtsmann hat vergessen die Weihnachtsgeschenke mit Namen zu beschriften und muss sie daher zufällig verteilen. Dabei enthält der Sack 4 Geschenke für 4 Kinder, denen jeweils genau ein
Geschenk zusteht.

a) Formulieren Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum.

b) Sei X die Anzahl der Kinder, die das richtige Geschenk bekommen. Bestimmen und zeichnen Sie
die Verteilungsfunktion von X. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass keines der Kinder das richtige
Geschenk erhält?

c) Wie groß ist für ein Kind die Wahrscheinlichkeit das richtige Geschenk zu bekommen, wenn es weiß, dass bereits k (k = 1; 2; 3) der anderen Kinder das jeweils richtige Geschenk bekommen haben?

Für a) habe ich den Wahrscheinlichkeitsraum wie folgt angegeben: $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal E,P) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ \omega_{ik} \quad \vert \quad i,k = 1,..., 4\right\} = \left\{ 1,2,3,4 \right\}^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal E = 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(\omega_{ik}) = \frac{1}{16} \quad \forall i,k \end{eqnarray*}$

Bei b) habe ich die einzelnen Wahrscheinlickeiten berechnet, also $\begin{eqnarray*} P(X = 1 )= 1/4, P(X=2) = 3/128, P(X=3) = 1/ 1024, P(X=4) = 1/16384, P(X=0) = 1 - P(X \leq 4) = 11887/16384 \end{eqnarray*}$ Bei diesen berechneten Wahrscheinlichkeiten bin ich mir allerdings nicht sicher, hat jemand das gleiche oder etwas anderes raus?
Die Verteilungsfunktion ergibt sich dann ja aus $\begin{eqnarray*} F(x) = P(X \leq x) \end{eqnarray*}$ .

Kann mir jemand bei dem Aufgabenteil c) helfen.

16.12.2011, 13:55

chili_12

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Hi,

also deine Ergebnismenge erscheint mir etwas seltsam. Die möglichen Ergebnisse haben doch jeweils 4 Einträge und sind geordnet. Ausserdem muss doch gelten $\begin{eqnarray*} |\Omega|=4!=24 \end{eqnarray*}$ ist das bei dir der Fall?

Da nur ein Element in Omega ist, dass allen Kindenr das richtige Geschenk zuordnet und alle gleichwahrscheinlich sind gilt P(X=4)=1/24.

Du kannst das aber auch direkt ausrechnen via P(X=4)=1/4*1/3*1/2=1/24

c) kannst du entweder mithilfe der Formel für die bedingte Wsk ausrechnen oder eben auch direkt P=1/3*1/2 (ein Kind bekam schon das richtige Geschenk)

mfg

16.12.2011, 14:13

loyloep

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Kannst Du vielleicht genau aufschreiben wie die möglichen Elementarereignisse aussehen.

Ich habe mir überlegt $\begin{eqnarray*} \omega_{ik} \mathrel{\widehat{=}} \end{eqnarray*}$ Kind Nummer k erhält Geschenk Nummer i.

Daher also $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal E,P) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega = \left\{ \omega_{ik} \quad \vert \quad i,k = 1,..., 4\right\} = \left\{ 1,2,3,4 \right\}^2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathcal E = 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$

Bei vier Kindern und vier Geschenken ergibt sich $\begin{eqnarray*} P(\omega_{ik}) = 1/16 \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 15:08

dinzeoo

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Zitat:

Original von loyloep
Kannst Du vielleicht genau aufschreiben wie die möglichen Elementarereignisse aussehen.

kann man bestimmt etwas schöner formulieren, vll sogar auch komplett anders, aber so sollte das zumindestens auch gehen:

$\begin{eqnarray*} \Omega:=\{(a,b,c,d)~|a,b,c,d \in \{1,2,3,4\}, a\not=b\not=c\not=d\}=\{(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,4,2,3),\dots, (4,3,2,1) \} \end{eqnarray*}$

bedeutung von (4,3,2,1) wäre dann: erste kind bekommt geschenk nr.4, zweite nr.3, dritte nr.2, vierte nr.1 sprich jeder bekommt ein falsches geschenk. alle das richtige geschenk wäre das tupel (1,2,3,4). die sigma algebra wäre die potenzmenge davon.

16.12.2011, 15:11

Math1986

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Zitat:

Original von dinzeoo

kann man bestimmt etwas schöner formulieren, vll sogar auch komplett anders, aber so sollte das zumindestens auch gehen:

$\begin{eqnarray*} \Omega:=\{(a,b,c,d)~|a,b,c,d \in \{1,2,3,4\}, a\not=b\not=c\not=d\}=\{(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,4,2,3),\dots, (4,3,2,1) \} \end{eqnarray*}$

bedeutung von (4,3,2,1) wäre dann: erste kind bekommt geschenk nr.4, zweite nr.3, dritte nr.2, vierte nr.1 sprich jeder bekommt ein falsches geschenk. alle das richtige geschenk wäre das tupel (1,2,3,4). die sigma algebra wäre die potenzmenge davon.

Im Prinzip würde dies ja auf die symmetrische Gruppe vom Grad 4 hinauslaufen.

16.12.2011, 15:21

dinzeoo

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Zitat:

Original von Math1986
Im Prinzip würde dies ja auf die symmetrische Gruppe vom Grad 4 hinauslaufen.

jetzt wo du es sagst.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

hast vollkommen recht, das wäre die schönere variante/notation!

$\begin{eqnarray*} \Omega:=S_4 \end{eqnarray*}$

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16.12.2011, 17:14

loyloep

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Zitat:

Original von dinzeoo

$\begin{eqnarray*} \Omega:=S_4 \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun verstanden.

$\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ entspricht damit ja der Frage nach der Wahrscheinlichkeit für die Permutationen einer 4-elementigen Menge mit genau k Fixpunkten.

Mit Hilfe von http://www.matheraum.de/read?t=68420&v=t erhalte ich $\begin{eqnarray*} P(X=0) = 9/24, P(X=1) = 1/3, P(X=2) = 1/4, P(X=3) = 0, P(X=4) = 1/24 \end{eqnarray*}$ .

Zu c) Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt ja $\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) \end{eqnarray*}$ . Was setzt man denn für $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ein?

16.12.2011, 18:13

Math1986

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Zitat:

Original von loyloep

Zu c) Für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt ja $\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(A \cap B) / P(B) \end{eqnarray*}$ . Was setzt man denn für $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ein?

Wie sieht $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ denn konkret aus?

17.12.2011, 13:13

loyloep

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Die Aufgabe c) lautet: Wie groß ist für ein Kind die Wahrscheinlichkeit das richtige Geschenk zu bekommen, wenn es weiß, dass bereits k (k = 1; 2; 3) der anderen Kinder das jeweils richtige Geschenk bekommen haben?

Für k = 1 habe ich gesetzt: $\begin{eqnarray*} A= (X=2), B = (X \leq 1) \end{eqnarray*}$ und erhalte damit $\begin{eqnarray*} P(A|B) = P(X = 2 | X\leq1) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(\emptyset)}{P(X\leq 1)} = \frac{0}{17/24} = 0 \end{eqnarray*}$ . ???

17.12.2011, 13:55

dinzeoo

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die rechnung passt nicht, schon aufgrund des ergebnisses. ich interpretiere die frage übrigens so, damit keine missverständnisse auftreten: (man könnte es eventuell auch anders interpretieren, dann wird es aber komplizierter)

wie hoch ist die wkeit z.b. für kind nr.4 das geschenk nr. 4 zu erhalten wenn es weiss, dass von den anderen drei kindern k=1,2, oder 3 richtige geschenke erhalten haben.

für k=3 sollte das ergebnis dann klar sein, wenn alle drei vorher das richtige erhalten haben, muss kind nr. 4 auch automatisch das richtige bekommen.(egal wie man die aufgabe interpretiert, für k=3 läufts immer darauf hinaus) in formeln sähe das so aus für k=3:

$\begin{eqnarray*} A=\{(1,2,3,4),(1,3,2,4),(2,3,1,4),(2,1,3,4),(3,1,2,4),(3,2,1,4)\} \end{eqnarray*}$
das ist nämlich das ereigniss, kind nr. 4 bekommt das richtige geschenk.

das ereigniss alle drei kinder vorher bekommen das richtige (k=3) ist :

$\begin{eqnarray*} B=\{(1,2,3,4)\} \end{eqnarray*}$

17.12.2011, 15:02

loyloep

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Für k = 2 habe P(A|B) = 4/7 und für k = 1 habe ich P(A|B) = 4/15 raus.

17.12.2011, 15:59

dinzeoo

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Zitat:

Original von loyloep
Für k = 2 habe P(A|B) = 4/7 und für k = 1 habe ich P(A|B) = 4/15 raus.

nachrechnen werde ich das nicht. solltest du es bestätigt haben wollen, musst du es ausführlicher aufschreiben. aber ich kann dir schonmal sagen, dass dein ergebnis für k=2 nach meiner obigen interpretation nicht richtig ist.

wenn nämlich von den drei kindern, (genau!!!) zwei ein richtiges geschenk erhalten haben, muss folglich das dritte kind ein falsches bekommen haben und somit automatisch auch kind nr.4 ein falschen bekommen.

17.12.2011, 17:02

loyloep

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Zitat:

Original von dinzeoo
wenn nämlich von den drei kindern, (genau!!!) zwei ein richtiges geschenk erhalten haben, muss folglich das dritte kind ein falsches bekommen haben und somit automatisch auch kind nr.4 ein falschen bekommen.

Aufgabenstellung Wie groß ist für ein Kind die Wahrscheinlichkeit das richtige Geschenk zu bekommen, wenn es weiß, dass bereits k (k = 1; 2; 3) der anderen Kinder das jeweils richtige Geschenk bekommen haben?

Für den Fall k =2 gibt es also das Wissen, das 2 von 4 Kindern das richtige Geschenk bekommen haben. Ob, das dritte Kind ein richtiges oderfalsches GEschenk bekommen hat ist einfach nicht bekannt. Demnach kann es ein Richtiges oder ein Falschen bekommen. Es muss nicht zwangsweise ein Falsches bekommen.

17.12.2011, 17:40

Leopold

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Das ist jetzt die Frage, wie die Zahlen 1,2,3 zu interpretieren sind. Der Aufgabe fehlt in dieser Hinsicht die letzte Klarheit. Ich würde aber meinen, daß die Zahlen im Sinne von genau 1, genau 2, genau 3 zu verstehen sind.

Dann lies noch einmal den letzten Satz in dinzeoos letztem Beitrag.

Interessant ist nur der Fall k=1. Das ist der einzige, wo sich keine triviale Wahrscheinlichkeit ergibt.

19.12.2011, 16:16

MatheMäxchen

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Hallo,

da das unsere Klausurvorbereitungsaufgaben sind, sitze ich auch gerade daran. Ich möchte sie unbedingt im detail verstehen, denn so ähnliche aufgaben kommen dann in der klausur ran.
ich häng erstmal schon bei aufgabe a. also warum ihr omega und die sigma-algebra so gewählt habt, leuchtet mir ein. aber wie genau muss nun das wahrscheinlichkeitsmaß aussehen? kann ich da einfach schreiben P(w)=1/24?

wäre über hinweise dankbar.

liebe grüße
mathemäxchen

19.12.2011, 17:30

dinzeoo

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Zitat:

Original von MatheMäxchen
kann ich da einfach schreiben P(w)=1/24?

ja, für die elemetarereignisse w kannst du das so schreiben. das sollte ansich auch reichen.
alternativ und noch allgemeiner:

für $\begin{eqnarray*} A\in 2^\Omega \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \end{eqnarray*}$

|.| bezeichnet die anzahl der elemente.

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