Stetige Zufallsvariable

16.12.2011, 17:28

loyloep

Stetige Zufallsvariable

Ein Weihnachtsengel lässt versehentlich seinen 10cm langen Stab fallen. Dieser zerbricht zufällig gleichverteilt in zwei Teile.

a) Sei X die Länge der kürzeren Strecke. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion, die Dichtefunktion,
den Erwartungswert und die Varianz von X.

b) Sei Y der Quotient kürzere durch längere Strecke. Was ist E(Y )?

Der Teil a) ist klar.

Für den Teil b) setze ich $\begin{eqnarray*} Y = \frac{x}{10-x} \end{eqnarray*}$ . Dann ergibst sich für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(Y) = \int_a^b \! y \cdot f(x) \, dx = \int_0^5 \! \frac{x}{10-x} \cdot \frac{1}{5} \, dx \end{eqnarray*}$ . Ich habe Schwierigkeiten, dass Integral zu bestimmen. Kann mir jemand dabei helfen.

16.12.2011, 18:13

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{10-x} = \frac{(x-10)+10}{10-x} = -1 + \frac{10}{10-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = 10-x \end{eqnarray*}$ substituieren

16.12.2011, 19:18

loyloep

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Ich bin Deinem Hinweis gefolgt und habe -4,85 als Ergebnis erhalten. Mich wundert, dass es ein negativer Wert ist.

16.12.2011, 20:14

Leopold

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Das ist auch der falsche Wert. Der richtige ist $\begin{eqnarray*} -1 + 2 \ln 2 \approx 0{,}3863 \end{eqnarray*}$ .

16.12.2011, 20:51

loyloep

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Eine Fehler habe ich in meiner Rechnung gefunden, trotzdem komme ich auf ein anderes Ergebnis. Hier meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} t = \phi(x) = 10-x \Leftrightarrow \frac{dt}{dx} = -1 \Leftrightarrow \dx = -dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! -1 + \frac{10}{10-x} \, dx = \int_{10}^5 \! -1 + \frac{10}{t} \, - dt = \int_5^{10} \! -1 + \frac{10}{t} \, dt = \left[ -t + 10 \cdot ln(t) \right]_5^{10} = -5 + 10 \cdot ln(2) \cong 1,94 \end{eqnarray*}$

Einen weiteren Fehler kann ich nicht finden.

17.12.2011, 03:06

dinzeoo

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Zitat:

Original von loyloep
$\begin{eqnarray*} \int_0^5 \! -1 + \frac{10}{10-x} \, dx \end{eqnarray*}$
...
Einen weiteren Fehler kann ich nicht finden.

Zitat:

Original von loyloep
$\begin{eqnarray*} E(Y) =...= \int_0^5 \! \frac{x}{10-x} \cdot \frac{1}{5} \, dx \end{eqnarray*}$

hast 1/5 vergessen...