Divergenz einer Reihe beweisen

16.12.2011, 19:13

Azdak

Divergenz einer Reihe beweisen

Hallo.
Es geht um folgende Aufgabe:

Gegeben sei eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty{a_{k}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{k}\geq{0} \end{eqnarray*}$ für alle natürlichen Zahlen k.
Beweise: Konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} (ka_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ gegen eine Zahl $\begin{eqnarray*} x>{0} \end{eqnarray*}$ , so divergiert die oben angegebene Reihe.

Meine Idee ist die folgende: Wenn die gegebene Folge keine Nullfolge ist (nach Voraussetzung), dann divergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty{ka_{k}} \end{eqnarray*}$
-> Die Folge der Partialsummen dieser Reihe ist unbeschränkt.
-> Für beliebige natürliche Zahlen M gibt es ein n, sodass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n}ka_{k}>M \end{eqnarray*}$ gilt.
-> Nun kommt der Teil, wo ich etwas unsicher bin... ich würde jetzt beide Seiten durch die Summe von k bis n über k dividieren. Setzt man dann $\begin{eqnarray*} N:=\frac{M}{\sum\limits_{k=1}^{n}k} \end{eqnarray*}$ , so folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty{a_{k}}\geq\frac{\sum\limits_{k=1}^\infty{ka_{k}}}{\sum\limits_{k=1}^{n}k}>N \end{eqnarray*}$

Also ist auch die Folge der Partialsummen von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty{a_{k}} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt, folglich divergiert die Reihe.

Ist das korrekt?
Wenn nein: Könntet ihr mir einen Tipp geben, wie ich am besten vorgehen sollte? Ich hab schon einiges versucht, ohne wirklich zum Ziel zu gelangen (u.a. Minorantenkriterium), der jetzige Versuch scheint mir noch am besten zu sein...

17.12.2011, 15:11

Azdak

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Korrektur:
M kann auch eine beliebige reelle Zahl sein, aber das macht denke ich keinen allzu großen Unterschied.
Außerdem habe ich aus Versehen zweimal unendlich als obere Reihengrenze angegeben, obwohl es eigentlich n sein sollte (in der letzten großen Ungleichung).

17.12.2011, 15:25

Cheftheoretiker

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Mach dir doch einfach das notwendige Konvergenzkriterium für Reihen zu nutze indem du $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ untersuchst.

Wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, ist das notwendige Konvergenzkriterium erfüllt.
Wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist, ist die Reihe divergent.

17.12.2011, 15:53

Azdak

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Das habe ich bereits versucht, aber ich komme nicht drauf, wie ich aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (ka_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist, darauf schließen kann, dass dann auch $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

17.12.2011, 16:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Azdak
aber ich komme nicht drauf, wie ich aus der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (ka_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist, darauf schließen kann, dass dann auch $\begin{eqnarray*} (a_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.

Das kann man auch nicht schließen. Aber man kann für $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty{a_{k}} \end{eqnarray*}$ eine divergente Minorante in Form einer harmonischen Reihe finden.

17.12.2011, 17:11

Azdak

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Und wie...? Ich verstehe leider nicht, worauf du hinauswillst. unglücklich

Ich muss doch sicherlich irgendwie verwenden, dass $\begin{eqnarray*} (ka_{k})_{k} \end{eqnarray*}$ gegen x>0 konvergiert, aber wie soll ich aus dieser Folge bzw der Reihe darüber eine divergente Minorante bekommen? Die harmonische Reihe wäre doch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ , was hat diese mit den Reihen in der Aufgabe zu tun? verwirrt

17.12.2011, 18:28

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} \lim_{k\to\infty} ka_k = x \end{eqnarray*}$ heißt u.a., dass es für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ es ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} x-\varepsilon < ka_k < x+\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$

gibt. Uns interessiert die untere Schranke z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=\frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ : D.h., es existiert ein $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ka_k > \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ . Wenn du daraus keine divergente Minorante basteln kannst, dann kann ich dir auch nicht weiter helfen. unglücklich

17.12.2011, 18:38

Azdak

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Ok, daraus folgt: Wenn die Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2}*\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, dann auch die Reihe über $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ . Wir haben aber in der Vorlesung nur bewiesen, dass die Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert... ich meine, es ist klar, dass Skalarmultiplikation nichts dran ändert, aber kann ich das formal irgendwie nachweisen?

17.12.2011, 18:50

Azdak

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Hat sich erledigt - vielen Dank für die Hilfe! smile

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