Determinante -Was ist das?

16.12.2011, 20:36

Argh!

Determinante -Was ist das?

Hi,

ich wollte ganz gerne wissen was det(A- Lambda * E ) = null bedeutet. ich komm einfach nicht drauf.

(ich weiß schon das das was mit eigenwerte zu tun hat, und ich will da NIX berechnen) . ich möchte eine abstrakte idee was diese bedingung aussagt, um diese bedingung kreativ einsetzen zu können.

warum nicht zu beispiel mal das da:

det (A - Lambda * E + Lambda²*E - Lambda³ * E +...) = 0

Warum möchte man das spektrum von A so verschieben dass A - Lambda * E , dass die Determinante = 0 wird????

16.12.2011, 20:46

tigerbine

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RE: Determinante -Was ist das?

Zitat:

ich weiß schon das das was mit eigenwerte zu tun hat, und ich will da NIX berechnen

Ist das nicht der falsche Ansatz, wenn man hinterfragt, warum die Gleichung gerade so aussieht?

http://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertpr..._der_Eigenwerte

Zitat:

Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \left(A - \lambda E\right) \cdot x = 0, \end{eqnarray*}$

definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar. Da x \neq 0 vorausgesetzt wird, ist dieses genau dann lösbar, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \det\left(A - \lambda E\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Formel resultiert also nicht aus Fantasielosigkeit, sondern aus der Aufgabenstellung.

16.12.2011, 21:02

Argh!

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hi Tigerbine,

vielen dank für die schnelle Antwort. das heisst schlicht det (A - LAMBDA * E) = ist äquivalent zu

(A- LAMBDA * E ) x = 0 , und das widerum ist äquivalent zu

eigenwertgleichung welche besagt dass sich die Matrix A wie eine Streckung verhalten soll.

Da könnte ich doch auch für A(LAMBDA) das so erzwingen das sich A wie ein polynom verhalten soll.

(vorrausgesetzt der grad stimmt überein)

z.b. ( A(LAMBDA) - p(LAMBDA)* E ) x = 0

16.12.2011, 21:09

tigerbine

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Am Anfang steht die Definition eines Eigenwerts/Eigenvektors. Der muss der Gleichung

$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$

genügen. Daher kein Polynom höhren Grades in $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ . Das kannst du umstellen zu

$\begin{eqnarray*} Ax-\lambda x=0 \end{eqnarray*}$

Nun will man das x noch ausklammen, das sieht mit Matrizen eben so aus

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)x=0 \end{eqnarray*}$

Nun untersucht man die Lösbarkeit des LGS, da x nicht 0 sein darf [Def. Eigenvektor], muss die Matrix singulär sein, dass führt auf

$\begin{eqnarray*} \text{det}(A-\lambda E)=0 \end{eqnarray*}$

16.12.2011, 21:16

Argh!

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mir ist das doch klar die komplette umformung .

ich will doch das zu einer anderen aufgabenstellung verallg.

z.b.
A(Lambda)=
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} \lambda^{2} & \lambda \\ 1- \lambda^{2} & \-lambda^{2}+ \lambda \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

und nun möchte ich das sich die Matrix wie ein polynom verhält: also

A(LAMBDA) = p(LAMBDA) * E . Suche nun P so dass die Linke "Eigenwertgleichung gilt"

DAS habe ich gemeint

16.12.2011, 21:18

tigerbine

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Es steht dir doch frei, dir neue Aufgaben auszudenken.

Zitat:

ich wollte ganz gerne wissen was det(A- Lambda * E ) = null bedeutet. ich komm einfach nicht drauf.

Darauf habe ich dir geantwortet. Augenzwinkern

edit:
Auf mich wirkt deine Frage nur so: Lösung sucht Problem. Big Laugh

16.12.2011, 21:25

Argh!

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vielen dank nochmal für die antworten .ich bin auf eine quadratische gleichung gekommen und versuche diese zu lösen um zu testen ob ich tatsächlich auf so ein polynom komme.

ich finde an der mathematik gerade so interessant das man alles durch solche bedingungen festlegt und dann kriegt man tatsächlich was richtiges raus... der kreative umgang mit Bedingnungen halt.

und ps. durch die Variationsrechnung bin ich darauf gekommen : )

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