Die Cantor Menge II |
| 16.12.2011, 21:50 | Sven1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Die Cantor Menge II Hallo, ich habe probleme mit dieser Aufgabe. Es sei C die Cantor Menge definiert als .Zeigen Sie, dass und dass x genau dann ein Häufungspunkt von C ist, wenn . Ich weiß nicht wie ich anfangen soll. Bitte hilft mir. :-) Meine Ideen: Ich weiß es leider nicht da Cantor Mengen mir probleme bereiten. |
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| 16.12.2011, 23:23 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Die Cantor Menge II Du musst also drei Dinge zeigen: 1. Kein Punkt der Cantormenge ist ein innerer Punkt 2. Jeder Punkt der Cantormenge ist ein Häufungspunkt 3. Jeder Punkt außerhalb der Cantormenge ist kein Häufungspunkt. Hier ein paar Tipps. Dabei gehst du immer von der schrittweisen Konstruktion der Cantormenge aus: Der Knackpunkt ist, dass du versuchen musst dir vorzustellen, wie diese Menge aussieht. Diese "intuitive" Vorstellung erhälst du, wenn du dir die schrittweise Konstruktion genau anschaust. Also: 1. Nimm dir einen Punkt der Cantormenge. Was ist denn so ein Punkt? Naja, zunächst solltest du dir klarmachen, dass das genau die Punkte sind, die irgendwann als Rand der Intervalle auftreten, aus denen ein Konstruktionsglied der Menge besteht. Soll heißen: Die Punkte 0, 1/3, 2/3, 1 sind genau die Randpunkte von C_1. Die Punkte befinden sich daher auch in jedem der anderen C_n (warum?). Nimm jetzt einen Punkt, der NICHT irgendwann als Randpunkt auftritt. Was passiert damit? Warum kann es dann keinen inneren Punkt geben? 2. Das ist der einfachste Teil: Du musst die Folge konstruieren. Nimm dir also einen Punkt. Wie ich eben gesagt habe, tauchen die Punkte der Cantormenge irgendwann als Randpunkte von Intervallen auf. Nimm doch mal den jeweils anderen Randpunkt des Intervalls von deinem Punkt als erstes Glied der Folge. Im nächsten Schritt der Konstruktion der Menge wird das Intervall geteilt, aber dein Punkt liegt immer noch auf dem Rand eines Intervalles. Also welchen Punkt nimmst du als zweiten Punkt deiner Folge? Siehst du, wie du ziemlich leicht zeigst, dass die Folge konvergiert? 3. Jetzt hast du einen Punkt, der nicht in der Cantormenge liegt. Vielleicht kommst du jetzt schon alleine klar? Denke hier besonders an 1. Gruß MI |
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