Konvergenzradius bestimmen

16.12.2011, 23:23

maphy

Konvergenzradius bestimmen

Hallo Zusammen,

Von der folgenden Potenzreihe soll der Konvergenzradius bestimmt werden:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2^k z^k \end{eqnarray*}$
der konvergenzradius sei ueber die die Definition (s.dateianhang)zu bestimmen.wir haben zwar im allgemeinen das wurzel-/quotientenkriterium in der Vorlsesung gezeigt aber eben nur üer "normale"Reihen.Auch so Definitionen wie cauchy-hamard oder Euler wurden so nicht genannt.darf ich dann ueberhaupt andere Kriterien verwenden??wuerden sich cauchy-hamard oder Euler aus den vorherigen Definitonen wie z.b Wurzelkriterium und Quotientenkriterium ergeben??

ich habe mal die wichtigen Definition fuer die Bestimmung von Konvergenzradien rausgekramt und im Anhang beigefuegt

Ach ja,woher weiß ich eigentlich wie ich mein z0 wähle..woraus ergibt sich das??

Gruss

Maphi

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17.12.2011, 02:10

wdposchmann

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RE: Konvergenzradius bestimmen

Zitat:

Ach ja,woher weiß ich eigentlich wie ich mein z0 wähle..woraus ergibt sich das??

Das "wählst" du nicht, sondern es ist dir gegeben. In diesem Falle ist es 0, denn eigentlich steht in der Potenzreihe ja

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 2^k (z-z_0)^k \end{eqnarray*}$

Da es in diesem Fall 0 ist, hast du den Vorteil, dass du das Ergebnis des Konvergenzradius nicht verschieben musst.

Das Konvergenzkriterium eignet sich für Potenzreihen mit nicht-verschwindenden Koeffizienten, was bei 2^k ja der Fall ist. Du kommst aber auch über das Wurzelkriterium (Cauchy-Hadamard) drauf.

Quotientenkriterium:

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Wie gehst du jetzt vor und was ist dann dein Konvergenzradius?

17.12.2011, 16:15

maphy

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Hallo,

Also das $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ ntspricht meinem meinem entwicklungspunkt,der in diesem Fall 0 entspricht.
leider ist mir gerade noch nicht so ganz klar woher ich weiß das $\begin{eqnarray*} z_o=0 \end{eqnarray*}$ meinem entwicklungspunkt entsprichtWoran erekenne ich das genau??wäre gut wenn das einer mal näher Erläutern könnte.
und $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ,also mein Koffefizient entspricht dann

$\begin{eqnarray*} 2^(k^2) \end{eqnarray*}$ .ich hatte leider im thread start das hoch 2 über dem k vergessen.das ändert aber denke ich nichts an der tatsache,oder??

hmm´jetzt stellt sich für mich die frage,wenn das $\begin{eqnarray*} 2^(k^2) \end{eqnarray*}$ mein ak(s.definition Vorlesung) ist,also mein koeffizient,dann müsste ich ja theoretisch nur $\begin{eqnarray*} 2^2k \end{eqnarray*}$ berechnen?!das würde aber wiederum nicht meinen radius entsprechen,der sich ja aus $\begin{eqnarray*} r=(z-z0)^k \end{eqnarray*}$ zusammensetzt bzw auch in abhängigkeite meinen Vorfaktor a steht.
aufgrudn der annahme,dass z0 gilt:
$\begin{eqnarray*} | \frac{2^{(k^{2})-z^({k})}}{2^{{(n+1)^{2}}-(z^{k+1})}} | \end{eqnarray*}$

liege ich mit dem Ansatz richtig?

gruß,
maphi

ps.gibt es eine externe möglichkit den code einzugeben ?die tausend geschweiften klammern wirken doch bei größeren Termen mehrs als Unübersichtlich.

18.12.2011, 11:54

wdposchmann

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RE: Konvergenzradius bestimmen
Hi,

Zitat:

Also dasntspricht meinem meinem entwicklungspunkt,der in diesem Fall 0 entspricht.
leider ist mir gerade noch nicht so ganz klar woher ich weiß das meinem entwicklungspunkt entsprichtWoran erekenne ich das genau??wäre gut wenn das einer mal näher Erläutern könnte.

Die Potenzreihendarstellung ist ja eigentlich wie ich es in meinem vorherigen Post schon geschildert habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k (z-z_0)^k \end{eqnarray*}$

Und da in deiner Reihe nur z^k da steht, steht ja eigentlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} a_k (z-0)^k \end{eqnarray*}$

da. Und genau so erkennst du deinen Entwicklungspunkt.

Wenn deine Reihe eigentlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k^2} z^k \end{eqnarray*}$

heißt, eignet sich das Wurzelkriterium sehr viel besser. Setz dort mal $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ ein.

18.12.2011, 16:57

maphy

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okay..ich habe in das das wurzelkriterium genutzt und folgendes erhalten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty b} \sqrt{ak}^{k} ,wobei ak:=2^{k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt{2^{k^2}}^{k} =\lim_{k \to \infty} 2^{k^2}=0 \end{eqnarray*}$
also würde meine Reihe für z E [0,1[ konvergieren,weil ja im allgemeinen Potenzreihen gegen 1/1-z für z<1 konvergieren.demzufolge gilt z E [0,1[:=R.

es wäre doch nicht richtigzu sagen sage mein Konvergenzradius ist R=0,weil es ja auch noch mehr Werte gibt,für die die Reihe konvergier,nämlich für die <1,oder??Wäre nett wenn sich einer dme Thema schnellst möglich annhemen könnte,da ich morgen Abgabe habe.und ich gerne vorher noch Wissen möchte ob ich mit meiner Argumentation richtig liege.

Gruß,
mphi

18.12.2011, 19:18

wdposchmann

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RE: Konvergenzradius bestimmen
Sorry, bei deinen Rechnungen versteh ich nicht viel. Ist nicht böse gemeint, ich sags nur, dass wenn ich etwas falsch interpretiere, du es am besten richtig stellst.

Also das Wurzelkriterium, dass wir hier brauchen, um den Konvergenzradius zu berechnen, ist:

$\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{\limsup_{k \to \infty} (\sqrt[k]{|a_k|}) } \end{eqnarray*}$

Wie gehen wir nun vor: Wir bilden erst einmal $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{|2^{k^2}|} \end{eqnarray*}$ , denn darauf müssen wir dann den Limes Superior ansetzen.

Die Betragsstriche fallen weg, da $\begin{eqnarray*} 2^{k^2} \end{eqnarray*}$ für k>=0 nie negativ wird. Dann folgt

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{2^{k^2}} = 2^k \end{eqnarray*}$

Und darauf jetzt k gegen unendlich anzusetzen, sollte kein Problem mehr sein. Du bekommst letzten Endes r = 0 heraus, der Konvergenzradius ist demnach 0 und die Reihe konvergiert nicht.

Hab es dir jetzt grob "vorgerechnet" da du sagst, du brauchst es bis morgen. Verstehen (vor allem die Denkweise und Zwischenschritte) solltest du es aber auf jeden Fall selber, denn das ist ein Thema, was in der Analysis (und damit eben auch Klausuren etc.) sehr zentral ist.

18.12.2011, 19:49

maphy

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ok, du einen radius r=0 raus aber damit heißt es doch nicht,dass die reihe nicht konvergiert,oder??
wir sind uns doch einig,dass betrag z für den radius steht,oder?
laut wolfram konvergiert sie in diesem Punkt aber eben nur in diesem.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%282^k^2%290^k

dies würde ja auch zu das Konvergenzkriterium von Potenzreihenerfüllen.Nämlich das diese für betrag z<1 konvergieren.

oder liege ich damit falsch??

Gruß,
druwwl

19.12.2011, 08:52

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius bestimmen
Vielleicht sollten wir uns erstmal einigen, ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2^k z^k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2^{k^2} z^k \end{eqnarray*}$ heißt.

20.12.2011, 21:12

maphy

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Hallo..

ich füge einfach mal die Original Aufgabenstellung hinzu um weitere Fehlinterpretationen zu vermeiden.

dabei handelt es sich um die Aufgabe 2a)

[attach]22441[/attach]

Gruß,
Maphi

21.12.2011, 08:14

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius bestimmen
OK, nachdem das geklärt ist, zu deiner Frage:

Zitat:

Original von maphy
ok, du einen radius r=0 raus aber damit heißt es doch nicht,dass die reihe nicht konvergiert,oder??

Doch das heißt es. Genauer: die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty 2^{k^2} z^k \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht für |z| > 0.

21.12.2011, 09:14

maphy

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Okay..und was heißt es für $\begin{eqnarray*} | z | \end{eqnarray*}$ =0??und für $\begin{eqnarray*} | z | \end{eqnarray*}$ <0??

21.12.2011, 09:16

klarsoweit

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Darüber solltest du dir selber Gedanken machen. Vor allem, welche z die Ungleichung |z| < 0 erfüllen. Augenzwinkern

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