Ebenengleichung aufstellen

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17.12.2011, 12:30

Kääsee

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Ebenengleichung aufstellen

Hi Leute! Ja, mich gibt's auch noch Augenzwinkern

Ich hänge gerade an einer Aufgabe fest, es wäre ganz lieb, wenn mir einer helfen würde.
Und zwar geht es um diese:

Zitat:

Eine Ebene E ist orthogonal zur Ebene $\begin{eqnarray*} F:2x-4z=6 \end{eqnarray*}$ . Die Gleichung $\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stellt die Schnittgerade von E und F dar. Stellen sie eine Normalengleichung von E auf.

So, als erstes habe ich mir überlegt, dass der Normalenvektor von E (nennen wir ihn $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ )ja orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2n_1-4n_3=0 \Rightarrow n_1=2n_3 \end{eqnarray*}$

Meine zweite Bedingung war, dass der $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ auch orthogonal zum Richtungsvektor der Schnittgerade sein muss, da diese ja in der Ebene liegt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -2n_1-2n_2+n_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ aus obiger Gleichung eingesetzt ergibt:
$\begin{eqnarray*} -4n_3-2n_2+n_3=0 \Rightarrow n_2=-\frac{3}{2}n_3 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist mir nicht mehr so viel brauchbares eingefallen, deshalb dachte ich, ich stelle mal die Punkt-Normalengleichung von E soweit auf, den Aufpunkt der Schnittgeraden habe ich dann auch als Aufpunkt für die Ebene benutzt.

$\begin{eqnarray*} E: \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: \left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} 2n_3 \\ -\frac{3}{2} n_3 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danach dachte ich mir, ich könnte jetzt ja mal einfach die Schnittgerade der beiden Ebenen ausrechnen, dann hätte ich am Schluss noch ein $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ drin und könnte das durch Vergleich mit der gegebenen Schnittgeraden bestimmen (und dadurch den ganzen Normalenvektor von E).
Also habe ich zuerst einmal E in die Koordinatengleichung umgestellt, das ergab

$\begin{eqnarray*} 2n_3\cdot x - \frac{3}{2}n_3\cdot y +n_3\cdot z= -2n_3 \end{eqnarray*}$

Mein Gleichungssystem wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2x & 0 & -4z & =6 \\ 2n_3\cdot x & -\frac{3}{2}n_3\cdot y & n_3 & =-2n_3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich in der ersten Gleichung x=t gesetzt und daraus z=-3/2+1/2t erhalten.
Die Ergebnisse habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 2n_3\cdot t -\frac{3}{2}n_3\cdot y -\frac{3}{2}n_3+\frac{1}{2}n_3\cdot t=-2n_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2}n_3\cdot t -\frac{3}{2}n_3\cdot y =-\frac{1}{2}n_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}n_3\cdot y =-\frac{1}{2}n_3-\frac{5}{2}n_3\cdot t \end{eqnarray*}$

Hier habe ich mir auch überlegt, dass ich durch $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ teilen darf. Es darf eh nicht 0 sein, weil sonst der Nullvektor mein Normalenvektor wäre.
Also fällt $\begin{eqnarray*} n_3 \end{eqnarray*}$ komplett aus der Gleichung heraus und ich erhalte
y=1/3+5/3t

Jetzt baue ich aus den 3 Ergebnissen meine Schnittgerade auf:
$\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} t \\ \frac{1}{3}+\frac{5}{3}t\\ -\frac{3}{2}+\frac{1}{2}t \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{5}{3} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So, aber da der Richtungsvektor dieser gerade ja auf jeden Fall schonmal nicht kollinear zum Richtungsvektor der gegebenen Schnittgerade ist, kann da ja irgendwas nicht stimmen unglücklich

Wahrscheinlich ist das alles Mist, was ich gemacht habe^^ Ich hoffe, jemand hat Zeit, sich das Chaos anzusehen. Danke!!

LG Kääsee

17.12.2011, 12:59

original

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RE: Ebenengleichung aufstellen
hm..
du hast doch zwei Richtungsvektoren und einen Punkt der gesuchten Ebene?

wo ist dann noch ein Problem?
.

17.12.2011, 13:28

Kääsee

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Oh Gott, natürlich, danke vielmals! Hab ich auf dem Schlauch gestanden... was ein unnötiger Thread!

17.12.2011, 14:37

Kääsee

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Hey, ich muss doch nochmal nachhaken...

@original: Du meinst doch, ich solle zuerst die Parametergleichung aufstellen, oder? Die wäre doch dann
$\begin{eqnarray*} E: \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -4\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder nicht? Weil wenn ich das in eine Koordinatengleichung umforme und wieder die Probe mache, indem ich die Schnittgerade der gleichen Ebenen ausrechne, bekomme ich wieder genau die gleiche Gerade wie bei meiner umständlichen Lösung!!

edit: Kann es sein, dass die angegebene Schnittgerade gar nicht in F liegt, sondern F nur im angegebenen Aufpunkt schneidet??

19.12.2011, 13:49

Kääsee

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Hallo, nur zum Sichergehen: Kann es jemand bestätigen, dass die Aufgabe gar nichtösbar ist?

Entschuldigung für das Pushen, aber ich bin mir immer etwas unsicher und brauche Bestätigung, vor allem, weil demnächst auch noch 'ne Mathe-HÜ ansteht.
Kann ja auch sein, dass ich mal wieder nur Blödsinn gerechnet habe.
Vielen Dank!
LG Kääsee

19.12.2011, 16:19

original

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Zitat:

Original von Kääsee

Eine Ebene E ist orthogonal zur Ebene $\begin{eqnarray*} F:2x-4z=6 \end{eqnarray*}$ .

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
stellt die Schnittgerade von E und F dar.

edit: Kann es sein, dass die angegebene Schnittgerade gar nicht in F liegt, sondern F nur im angegebenen Aufpunkt schneidet??

also: wenn g Schnittgerade von E und F sein soll,
dann muss natürlich g ganz in F herumliegen..

und tatsächlich : dein g tut das nicht :
zwar liegt (1/2/-1) in F aber wenn du zB für r=1 den Punkt (-1/0/0) der Geraden g hernimmst,
dann siehst du sofort, dass dieser Punkt nicht in F ist und damit ist auch g unmöglich in F
(also ist da auch gewiss nichts mit "Schnittgerade")

Vermutlich hast du irgendwelche Daten von g oder von F falsch notiert

nebenbei:
dein Ansatz für E ("Parametergleichung") wäre ja ansonsten im Prinzip richtig.
(der kann ja nichts dafür, wenn du die Startdaten falsch aufgeschnappt hast)
.

19.12.2011, 18:58

Kääsee

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Danke für's Antworten.
Jedoch habe ich nichts falsch aufgeschnappt, es steht genau so im Buch!
Vielleicht ist es ja eine Fangfrage ;D
Auf jeden Fall bin ich jetzt beruhigt. Dankesehr.

19.12.2011, 20:11

riwe

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eventuell ein druckfehler beim normalenvektor

(2,2,1) würde passen Augenzwinkern

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