Codierungstheorie

17.12.2011, 13:17	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Codierungstheorie Hallo Board, ich habe mal wieder ein kleines Problemchen. Und zwar geht es um folgendes: Zeigen Sie, daß die Menge aller $\begin{eqnarray} (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)\in F_2^6 \end{eqnarray}$ (das F soll das F sein bei dem man Modulo 2 rechnet) mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} a_4=a_2+a_3,a_5=a_1+a_3,a_6=a_1+a_2 \end{eqnarray}$ ein linearer Code ist. Berechnen Sie die Informationsrate und den Minimalabstand dieses Codes. Folgendes hat uns der Prof. noch mit auf den Weg gegeben: Definition: $\begin{eqnarray} \| Q \|=q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C \subset Q^n \end{eqnarray}$ sei ein Code der Länge n über Q. Die Informationsrate von C ist per Definition: $\begin{eqnarray} R(c)=\frac{log_q(\|C\|)}{n} \end{eqnarray}$ Der Minimalabstand von C ist $\begin{eqnarray} d(c)=Min\left\{d(x,y):x\neq y, x,y \in C\right\} \end{eqnarray}$ Bei mir scheitert es schon am Anfang: Mein Q wäre doch $\begin{eqnarray} F_2^6 \end{eqnarray}$ , oder? Ich nenn es mal nur F. Dann wäre \|F\|=q=2, oder? weil es ja nur 1 und 0 gibt wenn ich modulo 2 rechne, oder? C habe ich dann als Teilmenge von F interpretiert, nämlich die oben angegebene. Dann wäre \|C\| doch ebenfalls 2 oder? n wäre 6, dann komme ich für die Informationsrate auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ . Ich kann mir da nichts drunter vorstellen, deshalb frage ich hier mal ob ich mich auf nem Holzweg befinde. MfG
17.12.2011, 13:27	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Zunächst einmal $\begin{eqnarray} \mathbb{F_q} \end{eqnarray}$ bezeichnet den Körper mit q Elementen. Im Fall von q prim ist dieser isomorph zu $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ "dem Teil dei dem man moduko q rechnet" Ein (linearer) Code ist ein Vektorraum über einem endlichen Körper, in diesem Fall ein UVR von $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2^6 \end{eqnarray}$ . Das Q soll wohl den Grundkörper darstellen (ich persönlich halte die Bennenung für ungut), also $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ , also q=2. Hingegen ist $\begin{eqnarray} \|\mathbb{F}_2^6\|=2^6 \end{eqnarray}$ . Damit ist dein \|C\| falsch.
17.12.2011, 13:30	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das lese, ist $\begin{eqnarray} Q=\mathbb{F}_2 \end{eqnarray}$ , denn dort steht ja $\begin{eqnarray} C\subset Q^n \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} n=6 \end{eqnarray}$ . Ein linearer Code ist erstmal einfach nur ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} Q^n \end{eqnarray}$ , hier also $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_2^6 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} \|\mathbb{F}_2^6\|=2^6=64 \end{eqnarray}$ ist, muss $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ebenfalls endlich sein. Zeige also als erstes, dass $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ in der Tat ein UVR ist und bestimme $\begin{eqnarray} \|C\| \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} R(c) \end{eqnarray}$ ist dann leicht ausgerechnet. Beachte, dass für einen linearen Code Minimaldistanz $\begin{eqnarray} d(C) \end{eqnarray}$ und Minimalgewicht $\begin{eqnarray} wt(C) \end{eqnarray}$ übereinstimmen. Damit können wir u.U. $\begin{eqnarray} d(C) \end{eqnarray}$ leichter bestimmen.
17.12.2011, 14:05	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhm, der Hinweis des Profs. war, das q=2 sei. Jetzt komm ich hier ein wenig durcheinander. Einerseits ist q=64 ja irgendwie logisch, aber wie kommt er dann auf q=2?
17.12.2011, 14:10	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher hast Du denn q=64? Weder Du noch jester. noch ich haben das behauptet (eher das Gegenteil q=2)
17.12.2011, 15:28	Newbie...	Auf diesen Beitrag antworten »
Hups, langsam lesen... Ich dachte Q sei $\begin{eqnarray} \mathbb F_2^6 \end{eqnarray}$ . Ich glaube jetzt kommt Licht ins Dunkel, ich probiere mich nochmal dran. Danke schonmal.
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