Differentialgleichung inkl. e-Funktion

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17.12.2011, 14:18	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung inkl. e-Funktion Meine Frage: Moin moin, Mal eine vermeintlich einfache DGL, die mich Mathe-Krüppel jedoch vollkommen überfordert. $\begin{eqnarray} y'=e^{2x}\left(1+y^{2} \right) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein mickriger Ansatz: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{1}{1+y^{2} } \, dy = \int_a^b \! e^{2x} \, dx \end{eqnarray}$ Das Teil (sofern richtig) soll ich jetzt irgendwie nach y auflösen, versuchen wirs mal: $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+y^{2} } = e^{2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1= e^{2x} \left(1+y^{2}\right) \end{eqnarray}$ So, und hier komm ich schon nicht mehr weiter, obwohl die Lösung wahrcheinlich so simpel ist ... a) Was mach ich mit dem e^2x? Mit diesem Ding kam ich noch nie klar. b) Es beschleicht mich das Gefühl, dass ich auf einer komplett falschen Fährte bin.
17.12.2011, 14:23	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso lässt du die integrale dann einfach weg? du musst erst integrieren und dann nach y auflösen
17.12.2011, 15:31	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoppla. Also erstmal integrieren: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{1}{1+y^{2} } \, dy = \int_a^b \! e^{2x} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{y^2+1} = \frac{1}{2} e^{2x} +C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=\left(\frac{1}{2} e^{2x} +C\right) \left(y²+1\right) \end{eqnarray}$ kann ich die Klammer einfach auflösen? $\begin{eqnarray} x=y²\frac{1}{2} e^{2x} +Cy²+\frac{1}{2} e^{2x}+C \end{eqnarray*}$ Jetzt durch y² teilen, damit ich das y auf die andere Seite bekomme? Oder hab ich mich schon wieder verlaufen?
17.12.2011, 16:33	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf der linken Seite musst du nach y integrieren, nicht nach x!
17.12.2011, 16:45	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hoffe, das bedeutet, dass ich links nur das x durch y ersetzen muss, denn ansonsten hab ich gleich keine Lust mehr. Aber wahrscheinlich ist es nicht so einfach.
17.12.2011, 16:50	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das heißt, dass y auf der linken Seite die Variable ist und eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f(y) = \frac{1}{1+y^2} \end{eqnarray}$ gesucht ist! Das ist ein Grundintegral. Aber wenn du keine Lust mehr hast, ist das natürlich deine Sache, ich will dich ja zu nichts zwingen.
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17.12.2011, 17:13	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau genommen hatte ich von Anfang an keine Lust, aber das ändert nichts daran, dass ich das ganze verstehen muss. Umso schlimmer also, dass ich gerade selbst mit so grundlegendem wie der Stammfunktion Probleme habe... Nunja, nächster Versuch: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{1}{1+y²} \, dx = log (y+1) \end{eqnarray}$ falls das richtig ist, kann ich endlich weitermachen.
17.12.2011, 17:16	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht die richtige Stammfunktion (wie du durch Ableiten ja auch selbst leicht überprüfen kannst). Nicht jeder Bruch führt beim Integrieren automatisch auf den Logarithmus.
17.12.2011, 17:40	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, seh auch grad, ich habe glatt das ² übersehen. ...was mich jedoch auch nicht weiter bringt. Bin mit meinem Latein am Ende. Die Klausur wird ein Desaster.
17.12.2011, 17:46	DerPeter123	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, du hast jetzt von einem Teil deiner Funktion die Aufleitung bestimmt. Nun musst du mittles partieller Integration das ganze ausrechnen.
17.12.2011, 17:46	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Güte, es scheitert hier doch bloß daran, dass du offensichtlich nicht bereit bist, einfach mal die Stammfunktion nachzuschlagen. Die steht in jeder halbwegs brauchbaren Tabelle drin. Ich hab doch schon gesagt, dass das ein Grundintegral ist, genau wie 1/x, sin, cos, e^x usw. Eine Stammfunktion ist der Arkustangens, also $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{1+y^2} \, \dd y = \arctan(y) \end{eqnarray}$ Wenn du dir das selbst herleiten willst, substituiere $\begin{eqnarray} y=\tan(z) \end{eqnarray}$ . Aber normalerweise ist diese Stammfunktion bekannt und wird auch so vorausgesetzt.
17.12.2011, 18:28	KleinerFalke	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch. Okay, Memo an mich selbst: Stammfunktionen üben. Exzessiv. Du hast mir jedenfalls weitergeholfen, vielen Dank dafür. Die restlichen Aufgaben schaffe ich jetzt (hoffentlich) alleine. Und 'Tschuldigung für mein Brett vorm Kopf

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