beweis 2 Kugeln im metrischen Raum disjunkt

17.12.2011, 14:29

Truebypass

beweis 2 Kugeln im metrischen Raum disjunkt

Hallo folgende Frage:

Sei (X,d) eine Metrik

$\begin{eqnarray*} x,y\in X\; r,s > 0\; mit\; r+s \leq d(x,y)\;zeigen\; sie\; B(x,r)\cap B(y,s) =\; leere menge \end{eqnarray*}$

mir fehlt dazu die Beweisidee unglücklich

... Die Kugeln schneiden sich ja nie da der Abstand von x zu y (der Abstand der "Mittelpunkte") ja immer größer gleich ist als die Additon der "Radien". Aber wie drücke ich das formal aus...

wäre toll wenn mir jemand sagen könnte wie man bei solchen Aufgaben anfängt.

vielen Dank Big Laugh

17.12.2011, 14:31

Gast11022013

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RE: beweis 2 Kugeln im metrischen Raum disjunkt
Mach' doch einen Widerspruchsbeweis.

Nimm' an, der Schnitt wäre nicht leer und führe das zum Widerspruch.

17.12.2011, 14:42

Truebypass

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nja das fällt mir Formal noch genauso schwer als wenn ich das direkt machen sollte:

kann ich beim Widerspruch dann so anfangen:

$\begin{eqnarray*} a \in B(x,r)\cap B(y,s) \Leftrightarrow a \in B(x,r) \wedge a \in B(y,s) \end{eqnarray*}$

17.12.2011, 15:01

Gast11022013

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Also zunächst: $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ heißt metrischer Raum und nicht Metrik, die Metrik ist das $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ .

Und dann:

Angenommen $\begin{eqnarray*} B(x,r)\cap B(y,s)\neq \emptyset\Rightarrow \exists z: z\in B(x,r)\wedge z\in B(y,s) \end{eqnarray*}$

Dann gilt $\begin{eqnarray*} d(x,z)\leq r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(y,z)\leq s \end{eqnarray*}$ .

Du kennst bestimmt ein paar Rechenregeln für Metriken.

17.12.2011, 15:38

Truebypass

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Zitat:

Original von Dennis2010

Dann gilt $\begin{eqnarray*} d(x,z)\leq r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(y,z)\leq s \end{eqnarray*}$ .

daraus folgt nach Dreiecksungleichung
$\begin{eqnarray*} d(x,y)\leq d(x,z) + d(y,z) \rightarrow d(x,y) \leq r + s \end{eqnarray*}$

das ist ein Widerspruch zur Vorraussetzung somit muss der Schnitt leer sein.

ist das soweit in Ordnung?

17.12.2011, 15:39

Gast11022013

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