Standardabweichung - Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

17.12.2011, 20:00

MisterK

Standardabweichung - Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz

Hallo,

ich versuche mich gerade an einer Stochastik-Problem, welches aus dem Bereich der Informationstechnik kommt.
Ich habe eine Speicher indem ich Werte zwischenspeicher. In diesen Speicher schreibe ich genauso schnell rein, wie ich wieder auslese (im Mittel). Beim Einschreiben hat meine Periode, d.h. der Abstand zwischen zwei aufeinander folgenden Schreibvorgängen, eine Streuung. Das Ganze ist ist "Gauß-Verteilt" und die Standardabweichung habe ich ausgerechnet. Die Ausleseperiode hat auch eine Streuung und ist unabhängig von der Einschreibperiode. Auch hier ist mir die Standardabweichung bekannt. Ich möchte mir nun ausrechnen, wie groß die Gesamt-Standardabweichung ist. Sehe ich es richtig dass ich die Einzel-Standardabweichungen quadrieren muss, dann addieren und hinterher die Wurzel ziehen muss um die Gesamt-Standardabweichung zu erhalten (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz)? Wäre es dann ein Fehler, wenn mir auf Grundlagen der so errechneten Standardabweichung eine Gaußverteilung für das Gesamtsystem annehme?

Gruß
MisterK

17.12.2011, 20:23

Dopap

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du hast also 2 Zufallsvariable mit demselben Erwartungswert und verschiedenen Standardabweichungen ( Varianzen):

X=einlesesezeit, Y= auslesezeit.

$\begin{eqnarray*} \rm E(X)= \mu ,~ E(Y)=\mu \\ \rm VAR(X)=\sigma _x, ~ VAR(Y)=\sigma _y \end{eqnarray*}$

Für die Summe gilt:
$\begin{eqnarray*} \rm E(X+Y)=2\mu\\ \rm VAR(X+Y)=\sigma_x + \sigma_y \end{eqnarray*}$

soweit ich mich richtig erinnere.

17.12.2011, 20:34

MisterK

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Von der Varianz aus gesehen liege ich ja dann Richtig smile

Aber wieso zwei mal den Mittelwert als Erwartungswert? Das verstehe ich gerade nicht.

17.12.2011, 20:40

Dopap

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manchmal ist es eben zu einfach:

Einlesezeit= $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$
Auslesezeit= $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$
_________________________

Summe = 2 $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$

17.12.2011, 20:43

MisterK

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Ups, stimmt. Wohl schon zu spät.

Aber Danke!!!

17.12.2011, 22:18

Dopap

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gern geschehen.

Im Sinne der Erkennbarkeit des Endes eines Threads ( solved !) wurde vorgeschlagen, dass wenn die letzte post vom Beantworter käme, damit der Thread als beendet gekennzeichnet wäre.

in diesem Sinne... Wink

18.12.2011, 15:34

Leander1

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Zitat:

Original von Dopap
[...]
$\begin{eqnarray*} \rm VAR(X)=\sigma _x, ~ VAR(Y)=\sigma _y \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} \rm VAR(X+Y)=\sigma_x + \sigma_y \end{eqnarray*}$

Das ist so nicht ganz richtig. Nach der Definition der Standardabweichung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sigma(X)^2 = \rm VAR(X) \end{eqnarray*}$

Für unabhängige Zufallsgrößen gilt:
$\begin{eqnarray*} \rm VAR(X+Y)=VAR(X)+VAR(Y) \end{eqnarray*}$
und somit:
$\begin{eqnarray*} \rm VAR(X+Y)=\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \sigma(X+Y)=\sqrt{\sigma(X)^2+\sigma(Y)^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MisterK
[...]
Wäre es dann ein Fehler, wenn mir auf Grundlagen der so errechneten Standardabweichung eine Gaußverteilung für das Gesamtsystem annehme?

Ich vermute, dass das Gesamtsystem dann auch eine Gaußverteilung ist, aber eine Herleitung dafür habe ich nicht parat. Kennt jemand eine Herleitung dafür? Das interessiert mich gerade sehr.

Viele Grüße
Leander

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