Im Z-Restklassenring modulo 6 : Division durch Restklasse möglich?

17.12.2011, 20:15

qwert zuiopü

Im Z-Restklassenring modulo 6 : Division durch Restklasse möglich?

Meine Frage:
Frage zu einer Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösungsmenge von $\begin{eqnarray*} \overline{3}x=\overline{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiss, dass die Lösungsmenge die leere Menge ist - durch ausprobieren. Aber wäre nicht schon alles gesagt, wenn man durch $\begin{eqnarray*} \overline{3} \end{eqnarray*}$ teilt ? (Obwohl ich weiss, dass wir uns in einem Ring befinden und es keine inversen Elemente gibt). Ich frage mich eben, ob es eine "elegante" Lösung gibt.

Ah! Mir ist die Lösung gerade selber eingefallen: Man geht davon aus, dass der Ring ein Körper ist, dividiert fleißig durch die Restklasse (falls ungleich null) und wenn die Lösung auch im Ring liegt, passt's.

18.12.2011, 10:20

Elvis

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Das glaube ich nicht. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \overline 3x=\overline 2 \end{eqnarray*}$ ist z.B. in den Körpern $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/17\mathbb Z, \mathbb Z/31\mathbb Z, ... \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar. Was verstehst du dann unter der "fleißigen" Division $\begin{eqnarray*} \frac {\overline 2}{\overline 3} \end{eqnarray*}$ in diesen Körpern ?

02.01.2012, 20:26

qwert zuiopü

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Naja, ich habe die Lösung nur für den Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /(6) \end{eqnarray*}$ gesucht. Mir ist schon klar, dass in anderen Restklassenringe Lösungen existieren mögen, wie du schon festgestellt hast. Wir haben aber gelernt, dass wir - indem wir einfach nach Rechenregeln eines Köpers eben mit Verwendung des IE - Lösungen ermitteln dürfen, wie eben hier $\begin{eqnarray*} \frac{\overline 2}{\overline 3} \end{eqnarray*}$ eine Lösung wäre, die aber nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /(6) \end{eqnarray*}$ liegt, und deshalb keine Lösung ist. Aber dankeschön trotzdem für deine Antwort :-)

02.01.2012, 20:32

galoisseinbruder

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Sorry, das kann ich so nicht stehen lassen.

Zitat:

- indem wir einfach nach Rechenregeln eines Köpers eben mit Verwendung des IE - Lösungen ermitteln dürfen,

Das hat euch hoffentlich so niemand beigebracht. Denn das ist grober Unfug.
Man kann das für Integritätsringe machen, denn jeder Int.ring liegt kanonisch in einem Körper, seinem Quotientenkörper.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z /(6) \end{eqnarray*}$ ist aber kein Int.ring., denn $\begin{eqnarray*} 3\cdot 2 \equiv 0 \mod 6 \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt Nullteiler. Dementsprechend existiert kein $\begin{eqnarray*} \bar{3}^{-1} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /(6) \end{eqnarray*}$ .
Dein "Beweis" ist ein Fall von ex falso quodlibet.

03.01.2012, 18:07

Elvis

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@qwert_zuiopü

Division ist nichts anderes als die Umkehrung der Multiplikation, d.h. $\begin{eqnarray*} x=\frac 2 3 \Leftrightarrow 3x=2 \end{eqnarray*}$ . Das geht aber nicht immer. Das geht genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} 3x=2 \end{eqnarray*}$ mindestens eine Lösung hat.
Wenn die Multiplikation assoziativ ist und zu $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ ein inverses Element $\begin{eqnarray*} 3^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert, dann gilt $\begin{eqnarray*} 3x=2\Rightarrow x=1\cdot x=3^{-1}\cdot3x=3^{-1}\cdot 2 \end{eqnarray*}$ .

In Körpern hat jedes von 0 verschiedene Element genau ein multiplikatives Inverses. Deshalb kann man symbolisch schreiben $\begin{eqnarray*} x=\frac 2 3 \end{eqnarray*}$ . Wenn man keinen Körper hat, geht das so nicht. Wenn man das Element x der Menge wirklich bestimmen will, muss man die Gleichung lösen, das gilt auch für Körper. Das Wissen über die Existenz einer Lösung beschafft nicht von selbst die Lösung.

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