Exponentialscharen

17.12.2011, 21:19

looser13

Exponentialscharen

Meine Frage:
Hallo, ich habe ein Problem mit einer Aufgabe und weiß auch nicht, ob meine Rechnung stimmt.Ich schreibe am Montag eine Klausur und deshalb möchte ich wissen, ob ich das Ganze auch kann.
Ich fange von Vorne an.
Gegeben ist eine Funktion:
$\begin{eqnarray*} fa(x)=axe^{-\frac{1}{2}x^2 } \end{eqnarray*}$
a) Untersuche das Schaubild Ka auf Nullstellen, Symmetrie, Extrem- und Wendepunkte sowie Asymptoten
b) Stelle für beliebiges a die Gleichung der Wendetangente in W
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{3} /fa(\sqrt{3}) ) \end{eqnarray*}$ auf. Welche Gleichung hat die Normale in diesem Punkt?
b2) Zeige: Alle Wendetangenten schneiden sich in einem Punkt, der auf der x- Achse liegt.
b3) Überprüfe, ob sich auch alle Wendenormalen in einem Punkt G schneiden.
c) Die x- Achse, die Normale und die Tangente im genannten Wendepunkt W begrenzen ein Dreieck ABW. Untersuche, ob dieses Dreieck einen extremen Inhalt hat. Begründe das Verhalten der Flächenfunktion ausführlich.

Meine Ideen:
Also die Nullstelle liegt bei x=0
Die Extrema sind an der Stelle x= 1 und x=-1
Der Wendepunkt liegt an der Stelle x=0 , x= Wurzel 3 und x=- Wurzel 3
aber: Nachdem ich die Funktion gezeichnet habe, sehe ich keinen Wendepunkt an der Stelle x= Wurzel 3... Das verwirrt mich. Kann mir das jemand erklären?
Die Ableitungen habe ich gebildet. Sie sind auch richtig.
Die Gleichung der Tangente an der Stelle x= Wurzel 3
$\begin{eqnarray*} y= (-2ae^{-1.5})x + (\sqrt{3}ae^{-1.5}+2\sqrt{3}ae^{-1.5}) \end{eqnarray*}$

Soll ich damit einfach weiterrechnen, oder ist die Gleichung an sich auch falsch?

17.12.2011, 23:20

mYthos

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Die Gleichung der Wendetangente dürfte stimmen. Allerdings kannst du die rechte Klammer noch zu $\begin{eqnarray*} 3a \sqrt 3 \ldots \end{eqnarray*}$ zusammenfassen!

An der Stelle $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ befindet sich sehr wohl ein Wendepunkt und demnach auch eine Wendetangente (grün).

mY+

18.12.2011, 01:25

looser13

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Danke für deine Antwort.
Ich habe noch da ein paar Probleme:
Ich habe die Gleichung der Normale bestimmt:
$\begin{eqnarray*} y= (\frac{1}{2ae^{-1.5} }) x+ (\sqrt{3}ae^{-1.5} -\frac{\sqrt{3} }{2ae^{-1.5} } ) \end{eqnarray*}$

Simmt die Gleichung?
Weitere Fragen:
Zu b2)
weiß ich nicht, wie man die Gleichung nach x auflöst, da man die Gleichungen der Wendetangenten gleichsetzt- Unterschied ist nur einmal a1 und einmaal a2, da der Parameter ist gleich ist... Wie löst man das nach x auf?

Zu c)
Da habe ich ein auch ein Problem. Stimmt schon mal meine Überlegung, dass man erst die Schnittpunkte der Wendetangente und der Normale mit der x- Achse berechnen soll? Das wäre die Grundseite des Dreiecks. Und als Höhe hätte ich den Punkt W genommen. Ist das richtig?

19.12.2011, 14:07

mYthos

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Die Gleichung der Normalen stimmt, letztendlich lautet sie

$\begin{eqnarray*} y=(\frac{e^{1.5}}{2a}) x+\frac{\sqrt{3}}{2ae^{1.5}}(2a^2-e^3) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von looser13
..
Weitere Fragen:
... Wie löst man das nach x auf?
...

- Bei der Gleichung der Wendetangenten:
y = 0 setzen, denn die Schnittpunkte befinden sich ja auf der x-Achse. Diese müssen unabhängig von dem Parameter a sein (a ungleich Null, dieses kann ausgeklammert werden!)
- Bei der Gleichung der Wendenormalen:
Wieder y = 0 setzen, überprüfen, ob x dann wieder von a unabhängig ist, also ob der Parameter a erneut ausgeklammert werden kann ...

Zitat:

Original von looser13
..
Zu c)
...
Stimmt schon mal meine Überlegung, dass man erst die Schnittpunkte der Wendetangente und der Normale mit der x- Achse berechnen soll? Das wäre die Grundseite des Dreiecks. Und als Höhe hätte ich den Punkt W genommen. Ist das richtig?

Soweit ja.

mY+

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