Betrag Eulersche Zahl

18.12.2011, 00:49

DerJoker

Betrag Eulersche Zahl

Guten Abend,

ich soll folgendes zeigen: $\begin{eqnarray*} |e^{i*n}| = 1 \forall n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Ich habe folgendes versucht: $\begin{eqnarray*} |e^{i*n}| = 1 \Leftrightarrow \sqrt{(cos(n)+sin(n)*i)^{2}} = 1 \Leftrightarrow sin(n)^{2}+cos(n)^{2} = (cos(n)+sin(n)*i)^{2} \Leftrightarrow sin(n) = cos(n)*i \end{eqnarray*}$ . Hier komme ich nun leider nicht weiter...Was mache ich falsch?

18.12.2011, 01:00

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RE: Betrag Eulersche Zahl
Ich verstehe nicht, wie du auf die letzte Gleichung kommst - das ist mir doch ein echtes Rätsel.

Andererseits: Wenn du die Darstellung der Exponentialfunktion über die trigonometrischen Funktionen hast, warum rechnest du den Betrag nicht einfach aus, d.h. warum löst du dein Quadrat nicht auf und ziehst die Wurzel?

In dem Fall musst du keine Äquivalenzumformungen machen sondern kommst einfach in einer Gleichungskette von der linken zur rechten Seite.

Gruß
MI

18.12.2011, 01:27

Dopap

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$\begin{eqnarray*} z(\phi) =e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ sind komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis.

warum dann beweisen, dass deren Betrag 1 ist. verwirrt

18.12.2011, 02:47

pseudo-nym

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Weil deine geomtrische Anschauung a priori nur eine Behauptung ohne Anspruch auf Gültigkeit ist.

18.12.2011, 08:24

DerJoker

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RE: Betrag Eulersche Zahl

Zitat:

Original von MI

Andererseits: Wenn du die Darstellung der Exponentialfunktion über die trigonometrischen Funktionen hast, warum rechnest du den Betrag nicht einfach aus, d.h. warum löst du dein Quadrat nicht auf und ziehst die Wurzel?

In dem Fall musst du keine Äquivalenzumformungen machen sondern kommst einfach in einer Gleichungskette von der linken zur rechten Seite.

Gruß
MI

Genau da ist mein Problem. Also: $\begin{eqnarray*} \sqrt{(cos(n)+sin(n)*i)^{2}} = \sqrt{cos(n)^{2}-sin(n)^{2}+2*cos(n)*sin(n)*i} = <br /> \sqrt{cos(n)^{2}-(1-cos(n)^{2})+2*cos(n)*sin(n)*i} = \sqrt{2*cos(n)^{2}-sin(n)^{2}+2*cos(n)*sin(n)*i -1 } \end{eqnarray*}$ . Und jetzt?

18.12.2011, 10:10

Nubler

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hinweis zur definition des betrags im komplexen:

$\begin{eqnarray*} \| z \| ^2=z\overline{z} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ des komplex konjungierte zu z is

18.12.2011, 10:13

DerJoker

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oh man. vielen dank Wink

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