Bspe Gruppenhomo-,-mono-,-epi-,endomorphismen, Ringhomo-,...,-morphismen

18.12.2011, 11:20	Shini	Auf diesen Beitrag antworten »
Bspe Gruppenhomo-,-mono-,-epi-,endomorphismen, Ringhomo-,...,-morphismen Hallo ihr kreativen Köpfe ich suche für alles oben genannte ein nichttriviales Bsp. Allerdings auch nicht zu kompliziert. Es soll schon halbwegs einfach anzuwenden sein. Leider bin ich nicht soooo kreativ und mir fällt nicht wirklich viel ein. Was noch wichtig wäre, dass wenn es ein Monomorphismus ist, dass er dann kein Isomorphismus und auch kein Endomorphismus ist... etc. Ich hoffe, ihr versteht mich. Also es sollte schon wenigstens von einer Gruppe/einem Ring in eine andere Gruppe/anderen Ring abgebildet werden. Außer bei Endomorphismus natürlich. Danke für eure hilfe! LG Shini
18.12.2011, 13:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor du Algebra machst, hast du bestimmt schon von Vektorräumen (additive Gruppen) und deren Homomorphismen (lineare Abbildungen) gehört. Und schon drängt sich als Beispiel für Ringe Hom(V,W) oder der Dualraum Hom(V,K) auf. Allgemeiner : Algebren, das sind Vektorräume mit Ringstruktur (z.B. Hom(V,W) isomorph zum Matrizenring). Allgemeine lineare Gruppe = invertierbare Matrizen, und viele weitere Beispiele aus LA.
18.12.2011, 13:48	Shini	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm ich bin mir nicht sicher, ob ich das jetzt verstehe. Prinzipiell hab ich in Algebra das ein oder andere nicht ganz verstanden. Aber ich dachte eher an so sachen wie 1. $\begin{eqnarray} \gamma : \mathbb Z -> \mathbb Z , x -> ax \end{eqnarray}$ als Gruppenendomorphismus, welcher aber auch injektiv ist (vielleicht weiß jemand eine solchen Endo. der keine weiteren Eigenschaften hat. 2. $\begin{eqnarray} \gamma : \mathbb Z -> \mathbb R , x -> x \end{eqnarray}$ als Ringhomomorphismus 3. $\begin{eqnarray} \gamma : \mathbb Z -> \mathbb Z/6\mathbb Z , x -> x mod 6 \end{eqnarray}$ als Ringepimorphismus Also wirklich einfache Bsp mit $\begin{eqnarray} \mathbb R , \mathbb Z , \mathbb Q , \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray}$ etc, die man auch verwenden kann. Denn ehrlich gesagt weiß ich leider nicht, was z.B. ein maximales Ideal von Hom(V,W) sein soll. So viel Algebra hatten wir dann doch nicht. Wobei ich halt keine einfälle hab bei Gruppenhomomorphismus, der sonst keine Eigenschaften hat, Gruppenepimorphismus, der sonst keine Eigenschaften hat, sowie bei Gruppenisomorphismus, Ringhomomorphismus, Ringisomorphismus, Ringautomorphismus... Danke trotzdem für den vorschlag.
18.12.2011, 16:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eines der schönsten und wichtigsten Beispiele ist der Isomorphismus $\begin{eqnarray} exp: ( \mathbb R,+ ) \to ( \mathbb R_{>0}, ), x \to e^x \end{eqnarray*}$ . Anmerkung: Bei algebraischen Strukturen musst du immer auch die Verknüpfungen angeben, nicht nur die Mengen.
18.12.2011, 16:40	Shini	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sollte klar sein. Jedenfalls hat unsere Professorin das immer vorausgesetzt, das wir das wissen, da zB (Z,*) gar keine Gruppe ist und somit logischer Weise von (Z,+) gesprochen wird und bei Ringen ist es ja sowieso klar. und noch weiter Beipsiele vielleicht? LG Shini

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