Normalvektor einer gekrümmten Fläche berechnen

18.12.2011, 14:06

fre4k

Normalvektor einer gekrümmten Fläche berechnen

Hallo

Ich habe eine Achtel-Kugel gegeben

$\begin{eqnarray*} A:={(x,y,z): x²+y²+z²\leq 1,x,y,z\geq 0} \end{eqnarray*}$

mit dem Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} V=\begin{pmatrix} z² \\ xy \\ xyz \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe meine Parameterdarstellung mit Kugelkoordinaten aufgestellt

und meine winkel zwischen pi/2 und mein r zwischen 0 und 1

jetzt wollte ich mit dem Gaußschen Integralsatz die Oberfläche berechnen.

Aber wie bestimme ich jetzt den Normalvektor ?

mfg

18.12.2011, 18:03

gonnabphd

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Hi,

Ganz allgemein macht man das so, dass man die Fläche parametrisiert mit zwei Variablen, z.B. durch eine Funktion

$\begin{eqnarray*} \Phi: U \to \mathbb R^3, \quad (u,v) \mapsto \Phi(u,v) \end{eqnarray*}$

und dann ist der Normalenvektor gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \hat n = \pm\frac{ \partial_u \Phi \times \partial_v\Phi }{\|\partial_u \Phi \times \partial_v\Phi\|} \end{eqnarray*}$

wobei das Vorzeichen so zu wählen ist, dass der Normalenvektor aus der durch die Fläche beschränkten Menge herauszeigt.

Gruss Wink

18.12.2011, 18:40

fre4k

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ist der Betrag unten zum normieren ?

muss man den Normalvektor bei den Integralsätzen immer den genormten nehmen ?

18.12.2011, 18:51

gonnabphd

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Zitat:

ist der Betrag unten zum normieren ?

Jup.

Zitat:

muss man den Normalvektor bei den Integralsätzen immer den genormten nehmen ?

Nein (zumindest je nachdem wie man deine Frage interpretiert). Das skalare Oberflächenelement ist ja gerade gegeben durch

$\begin{eqnarray*} \mathrm d \sigma = \|\partial_u \Phi \times \partial_v\Phi\| \; \mathrm d u\, \mathrm d v \end{eqnarray*}$

Damit ist dann das vektorielle Oberflächenelement:

$\begin{eqnarray*} \mathrm d n = \hat n \, \mathrm d\sigma = \pm\frac{ \partial_u \Phi \times \partial_v\Phi }{\|\partial_u \Phi \times \partial_v\Phi\|} \|\partial_u \Phi \times \partial_v\Phi\| \; \mathrm d u\, \mathrm d v = \pm \partial_u \Phi \times \partial_v\Phi \; \mathrm d u\, \mathrm d v \end{eqnarray*}$

Man kann sich das normieren also sparen, wenn man konkret den Fluss durch die Oberfläche berechnen will.

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