upper set - Topologie

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
upper set - Topologie
Meine Frage:
Sei eine prägeordnete Menge. Eine Teilmenge heißt eine "obere Menge" ("upper set") genau dann, wenn für alle und gilt: Ist , so ist .

Man zeige: Für eine prägeordnete Menge gilt:

(i) Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte oberer Mengen sind obere Mengen.

(ii) Die oberen Mengen bilden eine Topologie (upper set - Topologie) auf .

(iii) Die Mengen bilden eine offene Basis der upper set - Topologie.

Meine Ideen:
(i)

Sei prägeordnete Menge. Sei mit obere Menge für alle .

Seien beliebig.
. Da alle obere Mengen sind, gilt für sie: . Daraus folgt, daß, wenn , . Also ist obere Menge.
------
Sei mit obere Menge für alle .

Seien beliebig.
.
Da dieses obere Menge ist, gilt: .
, falls .

(ii)

In (i) wurde schon gezeigt, daß jede Vereinigung von oberen Mengen eine obere Menge ist und daß jeder Durchschnitt von oberen Mengen obere Menge ist, also auch jeder endliche Durchschnitt oberer Mengen eine obere Menge ist.

Muss nur noch gezeigt werden, daß und obere Mengen sind. Beides gilt meines Erachtens trivialerweise, denn:

ist trivialerweise erfüllt. Also ist P obere Menge.

Und bei der leeren Menge gibt es keine für die man zeigen müsste: . Also ist die leere Menge obere Menge.

(iii)

Hier hatten wir ein Kriterium, wann es sich um eine offene Basis handelt. Ich schreibe dieses Kriterium hier vorher nochmal auf:

Sei .
Zu ex. genau dann eine Topologie auf X derart, daß offene Basis von ist, wenn (1) und (2) erfüllt sind:

(1)

(2) Seien und , dann ex. mit .


Jetzt zu der Aufgabe zurück:

Sei das System aller Mengen .
Ich versuche (1) und (2) zu zeigen:

, weil es doch zu jedem Element mindestens sich selbst gibt, das kleiner/ gleich ist (wegen der Reflexivität).

Das wäre meine Idee.

(2) Seien und . Dann existiert doch wegen der Transitivität ein derart, daß , würde ich meinen und dann gilt:

, denn wenn , so auch und .




So, das sind meine Ideen.
Ich freue mich auf Eure Reaktionen, Ratschläge und Korrekturen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: upper set - Topologie
Zitat:
Original von Dennis2010
Dann existiert doch wegen der Transitivität ein derart, daß [...]


Warum gibt es so ein und warum sollte gelten?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: upper set - Topologie
Weiß ich leider keine Antwort drauf...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das wiederum macht mich sprachlos.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann frage ich mal so:

Könntest Du mir einen Tipp geben, wie ich (2) zeigen kann?

Oder, wenn der grobe Ansatz stimmt, wie ich richtig argumentieren muss?



EDIT:

Oder kann ich das einfach wählen als , wenn oder als , wenn ?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist was ich mit meiner zweiten Frage ausdrücken wollte.

Um ein mit zu erhalten, hast du versucht ein mit zu finden.

Das geht i.A. nicht immer gilt. Versuche also ein neues Kriterium für zu bauen.

Zitat:
Original von Dennis2010
Oder kann ich das einfach wählen als , wenn oder als , wenn ?


Das würde gehen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann ändere ich das in meiner Lösung.

Ansonsten erschien Dir alles okay?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt "ansonsten"? Du bist keineswegs fertig. Was machst du wenn gilt?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich vielleicht nehmen, dann müsste es doch immer gehen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine gute Idee. Versuch doch einfach mal zu zeigen, dass x das geforterte tut.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: upper set - Topologie
Naja, (Reflexivität) und nach Voraussetzung ist ja , also
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: upper set - Topologie
Zitat:
Original von Dennis2010
[...]also


Warum ist ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: upper set - Topologie
Ja, darüber bin ich auch gerade gestolpert...

Hm,....


verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, wegen der Transitivität!

Sei beliebig, dann gilt . Außerdem gilt ja aber nach Voraussetzung .

Wegen der Transitivität gilt dann auch und das bedeutet, daß .


Müsste stimmen.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt passt's
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Tolle Sache!

Ich danke Dir sehr.


Schönen 4. Advent noch!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe besteht noch aus zwei weiteren Teilaufgaben, wie ich gerade sehe.

(i) Jede offene Menge eines topologischen Raums ist eine obere Menge bezüglich der Präordnung "Spezialisierung" (s.u.). Die Umkehrung gilt genau dann, wenn die folgende Eigenschaft hat: Der Durchschnitt (beliebig vieler) -offener Mengen ist -offen.

(ii) Die upper-set-Topologie ist die feinste (d.h. größte) Topologie, auf P, die mit der (vorgegebenen) Präordnung kompatibel (s.u.) ist.


Hier zu stehen über der Aufgabe noch folgende Erklärungen/Definitionen:

Sei ein topologischer Raum. Für Punkte setzt man
(*) genau dann, wenn .

Die zweistellige Relation ist reflexiv und transitiv, also eine Präordnung, genannt "Spezialisierung".

Sei eine prägeordnete Menge. Eine Topologie auf P heiße kompatibel mit , wenn (*) erfüllt ist.

-----------------------

So, erstmal zu (i).

Da habe ich so meine Probleme. Aber ich beginne einfach mal, meine Ideen aufzuschreiben.


Sei offene Menge des top. Raums , d.h. .

Zu zeigen ist doch jetzt Folgendes: ist obere Menge bzgl. der Präordnung "Spezialisierung", d.h. für alle und für alle gilt:

(d.h. )

Wie kann man das denn zeigen?


Edit 1-5:

Ich habe nochmal drüber nachgedacht, das ist meine Idee:

Angenommen , also . Das ist eine abgeschlossene Menge, weil A ja nach Voraussetzung offene Menge ist.
Und dann soll ja sein und das ist doch der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die enthalten. Also ist die Menge auch darin enthalten.
Dann wäre doch aber , was ja nicht sein kann, da ja nach Voraussetzung. Also .

Wäre das okay?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, hat jemand einen Tipp für die Rückrichtung zu (i)?

Hab bis jetzt keine Idee, aber da da schon der Hinweis steht, daß die Rückrichtung nur gilt, wenn der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen offen ist, soll man bestimmt für die Menge, die man als obere Menge bzgl. der "Spezialisierung" annimmt, zeigen, daß man sie als Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen schreiben kann-- damit wäre sie dann Teilmenge der Topologie, also offen.


PS. Stimmt die Hin-Richtung im letzten Beitrag?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Da die Hilfe irgendwie nicht so richtig in Gang kommt, schreibe ich mal meine bisherige Idee auf für die Rück-Richtung.

Also sei obere Menge bezüglich der Prä-Ordnung "Spezialisierung". Das heißt für alle und alle gilt: - das heißt hier: - .

Zu zeigen ist, daß eine offene Menge des topologischen Raums ist, wobei eben gelten soll, daß der Schnitt beliebig vieler -offener Mengen auch -offen ist.

Das heißt, ich muss wohl zeigen, daß .


Dazu nehme ich mir ein beliebiges . Da die Prä-Ordung reflexiv ist, gilt , d.h. mit abgeschlossene Mengen.

Zudem gilt ja .


Ich weiß nicht, ob man das so machen kann, aber ich würde meinen:



Da die offen sind und nach Voraussetzung der Durchschnitt beliebig vieler offener Mengen offen ist, ist nach meinem Befinden

.

Ebenso müsste auch sein, da jeder Schnitt abgeschlossener Mengen m.E. wieder abgeschlossen ist und in der Topologie liegt?


Insgesamt käme ich dann darauf, daß .



Aber sicher bin ich mir leider nicht.
Hilfe wäre schön.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

*push*

Ich stecke echt fest.

Hab aber noch eine andere Idee, die mir gerade eingefallen ist.

Also sei obere Menge bezüglich der Präordnung "Spezialisierung".
Das bedeutet, daß für alle gilt, daß aus folgt:
(wobei .

Da immer gilt , ist für auch . Das bedeutet doch:

, wobei die M alles abgeschlossene Menge sein sollen, die das x enthalten.

Ist dann nicht jedes dieser M ein Komplement einer offenen Menge?
Also für ein ?

Dann könnte man das doch so schreiben:



Und damit ist doch A Umgebung jedes seiner Punkte, also offen und in .


Nur eine spontante Idee...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, wahrscheinlich ist meine Idee so wirr, das keiner helfen möchte.

Könnt ihr mir wenigstens sagen, was ich denn nun eigentlich zeigen muss?


Edit:

Vielleicht für die Rückrichtung:

Sei A obere Menge bzgl. "Spezialisierung".
D.h. für alle .

?

Damit wär A offen, denn es soll ja der Schnitt bel. vieler offner Mengen hier offen sein.


Das wäre jedenfalls meine Idee für a ungleich b und beide Elemente aus A.

Was aber ist, wenn a=b? Da bin ich wieder am Ende meines Lateins.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Leute, redet doch mit mir. Big Laugh

Sagt mir wenigstens, dass alles Bisherige Quatsch ist, aber lasst mich nicht im Regen stehen.
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