Streng monoton wachsend / fallend

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18.12.2011, 14:58	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Streng monoton wachsend / fallend Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Aufgabe aufbekommen, die ich nicht so wirklich verstehe.. Aufgabe: f(x)= $\begin{eqnarray} y_{0} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} a^{cx} \end{eqnarray}$ , a>0 , a ungleich 1, c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Für welche Zahlen a,c ist f a) streng monoton wachsend? b) streng monoton fallend? (a,c im Zusammenhang betrachten) Meine Ideen:* Ich habe erstmal nachgeschaut, was überhaupt "streng" monoton wachsend bzw. fallen heißt.. Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, aber nirgends konstant sind. Aber wie wende ich das auf die Aufgabe an?
18.12.2011, 15:07	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Hi, eine Funktion ist streng monoton, wachsend, $\begin{eqnarray} f'(x)>0 \end{eqnarray}$ bzw. fallend, $\begin{eqnarray} f'(x)<0 \end{eqnarray}$ . Du könntest dir die Ableitung anschauen und gucken wann die Ableitung $\begin{eqnarray} >0 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} <0 \end{eqnarray}$ ist.
18.12.2011, 15:09	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend aber ich habe doch gar keine Werte für a und c ?
18.12.2011, 15:12	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Ja, aber du kannst doch trotzdem ableiten...
18.12.2011, 15:14	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend . 1. hast du auch schon herausgefunden, wie du mit der ersten Ableitung etwas weiterkommen könntest? 2. was soll das undefinierte yo ? 3) weisst du etwas über dass Monotonieverhalten von y= e^(mx) ? ja? dann setze m=cln(a) .. usw EDIT: sorry, h war zu spät und bin wieder weg..
18.12.2011, 15:17	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Ich glaube, ich muss doch irgendwie die Produktregel anwenden oder? Und da bin ich mir nicht so sicher.. am Anfang könnte vllt. yo^-1 stehen.. aber wie ist das mit a^c*x
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18.12.2011, 15:19	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Du könntest ausnutzen $\begin{eqnarray} a^x=e^{ln(a)x} \end{eqnarray}$ Dann sollte es klappen. Wie original meinte, zu dem $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray*}$ ist garnichts weiteres angegeben...
18.12.2011, 15:20	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Ok jetzt bin ich irgendwie durcheinander.. 2) es könnte sein, dass die aufgabe mit einer anderen Aufgabe zusammenhängt.. dann wäre yo= 100 3) Nein, ich weiß nichts über das Monotonieverhalten von y= e^(m*x) für was steht hier m und e?
18.12.2011, 15:22	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend a^x = e^(ln(a)*x) ist e hier die eulersche Zahl?
18.12.2011, 15:23	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Ja, die allgemeine Exponentialfunktion wird über die bestimmte definiert. Diesen Zusammenhang kannst du dir zu nutze machen und bequemer ableiten.
18.12.2011, 15:27	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ich weiß jetzt nicht so genau, welche seite ich ableiten muss ^^' a^x wäre ja x*a^(x-1) oder? Ich gebe mal die vorherige Aufgabe mit an: Das radioaktive Isotop Cobalt 60 hat eine Halbwertszeit von t=5,3 Jahren Ao = Anfangsaktivität bei t=0 -> Ao = 100%
18.12.2011, 15:31	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend $\begin{eqnarray} a^{cx}=e^{ln(a)\cdot c\cdot x} \end{eqnarray}$ Mit dieser Art von Aufgabe kenne ich mich nicht aus. Wobei man aber sagen sollte, die Variable t kommt in der Funktion nicht einmal vor... Das $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray*}$ ist immer noch ungeklärt.
18.12.2011, 15:34	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend yo könnte Ao = 100 sein das t wäre das x, glaube ich.. f(x)= a^cx f'(x)= cln(a)*a^x stimmt das erst einmal soweit?
18.12.2011, 15:38	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Also ich komme auf, $\begin{eqnarray} a^{c\cdot x}=e^{ln(a)\cdot c\cdot x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (e^{ln(a)\cdot c\cdot x})'=e^{ln(a)\cdot c\cdot x}\cdot\frac{1}{a}\cdot c=a^{c\cdot x}\cdot \frac{1}{a}\cdot c \end{eqnarray}$
18.12.2011, 15:42	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend also a^cx = e^(ln(a)cx) ist einfach so definiert, oder wie? und gibt es da irgendeine Regel wie man dann auf 1/a c kommt.. bzw. auf das danach? und bei dem yo wäre doch die Ableitung sowieso 1 oder? weil (yo)' = yo^0 = 1
18.12.2011, 15:44	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Wie gesagt, die allgemeine Exponentialfunktion wird über die bestimmte definiert. $\begin{eqnarray} a^x=e^{ln(a)x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung des ln.
18.12.2011, 15:46	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ok, wenn ich dann f'(x)= a^(cx) 1/a * c habe .. (das ist doch jetzt die vollständige Ableitung oder?) Was mache ich danach?
18.12.2011, 15:50	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Wenn du nun sagst das $\begin{eqnarray} y_0=100 \end{eqnarray}$ ist? Dann schaust du dir nochmal die Bedingungen an. $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a \neq 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c\in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Nun schauen wir uns die Kriterien an, fangen wir mit streng monoton wachsend an. $\begin{eqnarray} 100\cdot a^{c\cdot x}\cdot \frac{1}{a}\cdot c>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 100\cdot\frac{a^{c\cdot x}\cdot c}{a}>0 \end{eqnarray}$ Was sind deine Überlegungen dazu?
18.12.2011, 15:51	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Muss man die Gleichung vllt erstmal so umstellen, dass sie nur noch von einer variablen abhänig ist? (ich bin mir nicht sicher, ob die mit yo=100 meinen, aber ich versuchs jetzt einfach mal so)
18.12.2011, 15:53	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend und warum steht am anfang 100? wenn man yo ableitet, steht da doch 1 oder?
18.12.2011, 15:54	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Wie willst du das denn anstellen? Ach, ich dachte die $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ wäre jetzt ein fester Wert?
18.12.2011, 15:56	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ok, dann weiß ich nicht, was zu machen ist ^^' da steht ja >0 , und nicht =0 stimmt, habe ich nicht beachtet
18.12.2011, 15:57	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ich glaube es ist kein fester wert
18.12.2011, 15:57	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ich glaube es ist kein fester wert steht da nicht einfach nur noch eine 1 davor?
18.12.2011, 15:58	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Zu dem $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ müssen Angaben vorhanden sein, sonst wird das nichts...
18.12.2011, 15:58	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ok dann ist es yo=100
18.12.2011, 15:59	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a \neq 1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c\in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 100\cdot a^{c\cdot x}\cdot \frac{1}{a}\cdot c>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 100\cdot\frac{a^{c\cdot x}\cdot c}{a}>0 \end{eqnarray}$ Was sind deine Überlegungen dazu?
18.12.2011, 16:03	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ich weiß gar nicht, wie man jetzt weiter machen soll.. kommt da ein genauer wert raus oder nur eine allgemeine Aussage? und was ist jetzt mit der 100 am Anfang? Bleibt die dort stehen?
18.12.2011, 16:05	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Du weißt doch aus den Voraussetzungen das $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\neq 1 \end{eqnarray}$ Wie sieht dann der Zähler und Nenner aus. Was passiert wenn du für c eine positive oder eine negative Zahl einsetzt? beachte dabei auch das x. Du willst ja schauen wann der Ausdruck >0 ist.
18.12.2011, 16:09	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend a muss größer als 1 sein und ist positiv.. wenn c positiv ist.. dann wird das ergebnis größer null sein (x müsste dann glaube ich auch positiv sein) wenn c negativ ist, dann kann das ergebnis nur größer als null sein, wenn x auch negativ ist, oder?
18.12.2011, 16:19	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Mach doch eine Fallunterscheidung. 1. Fall: $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} 100\cdot\frac{a^{c\cdot x}\cdot c}{a}>0 \end{eqnarray}$ 2. Fall: $\begin{eqnarray} c<0 \end{eqnarray}$ Wie siehts dann aus?
18.12.2011, 16:23	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend wenn c negativ ist dann ist das ergebnis kleiner null
18.12.2011, 16:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Korrekt! Wie beantwortest du nun Frage a) ?
18.12.2011, 16:26	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend a) Für alle a>0, a ungleich 1 und c>0 ist f streng monoton wachsend. b) Für alle a>0, a ungleich 1 und c<0 ist f streng monoton fallend. Richtig so?
18.12.2011, 16:27	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Korrekt!
18.12.2011, 16:28	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend bleibt die 100 einfach vor dem Term stehen? Eigentlich ist sie ja nicht wichtig für die Aufgabe oder? Weil es ändert sich ja nichts an der Aussage.
18.12.2011, 16:30	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Es ist halt wichtig zu wissen ob $\begin{eqnarray} y_0>0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} y_0<0 \end{eqnarray}$ ist. Wir haben nun angenommen das $\begin{eqnarray} y_0>0 \end{eqnarray}$ ist.
18.12.2011, 16:31	Lk-Mathe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend ok Danke für deine Hilfe und für deine Geduld
18.12.2011, 16:31	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streng monoton wachsend / fallend Gern geschehen!

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