Doppelungleichungen...aber wie??

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paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelungleichungen...aber wie??
hallo =)

wie man "normale" ungleichungen (...<...) löst, weiß ich ja...aber als hausaufgabe haben wir doppelungleichungen aufbekommen, da kommt das Zeichen < zweimal vor?!

a) 4 < x² < 9
b) 16 < (x-3)² < 49
c) 15 > x² - 1 > 3
d) -52 < x² - 8x - 4 < -20

vllt. erklärt ihr mir einfach anhand der ersten aufgabe, wie ich sie anzugehen brauche..

ich wäre auch sehr dankbar, weil ich nächste woche eine schulaufgabe schreibe und nicht planlos in die prüfung will =)))
N8schichtler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Doppelungleichungen...aber wie??
Betrachte sie doch einzeln:
und
Dann formst du wie gewohnt um
und und setzt am Ende wieder zusammen. (Vielleicht schreibt ihr es auch ohne Beträge, aber das schaffst du bestimmt)
 
 
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, daran hab ich gar net gedacht, sie einzeln zu betrachten! aber jetzt versteh ich es =)

danke!
N8schichtler Auf diesen Beitrag antworten »

Dank nur daran, dass beide gelten müssen!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

hallo, also ich hab die erst aufgabe durchgerechnet und die ist eigtl. schon klar (wir müssen gar nicht das ² wegbekommen!), die lösungsmenge wäre demnach bei a) x² muss größer als 4, aber kleiner als 9 sein...verständlich!

nur als ich die b) probiert habe, bin ich nicht weitergekommen: 16 < (x+3)² < 49! man kann die gleichung ja einzeln betrachten (und den binom gleich lösen), also

16 < (x+3)(x-3)
und
(x+3)(x-3) < 49

so, die aufgabenstellung will die lösungsmenge, da muss ich doch erstmal die 16 und 49 auf die andre seite bringen, damit die ungleichungen gleich 0 sind oder?!

nur versteh ich nicht ganz, wie ich da die lösungsmenge ausrechnen soll, wenn da steht: 0 < (x+3)(x-3) - 16 und (x+3)(x-3) - 49 < 0

eine idee hätte ich schon, nur weiß ich nicht, ob es richtig ist:

(ich löse den binom auf)

0 < x²+9-16
0 < x² -7 /+7
7 < x ²

und

x²+9 - 49 < 0
x² - 40 < 0 /+40
x² < 40

stimmt dann die lösungsmenge: x² muss größer als 7, aber kleiner als 40 sein?!

ich weiß nicht, ob es richtig ist, irgendwie kommt mir des zu simpel vor...

danke =)
Pi-tsch Auf diesen Beitrag antworten »

Binom falsch angewandt Augenzwinkern
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

wie falsch? ...na dann steh ich aber auf der leiter =)
ich denke, man kann (x+3)² einfach auflösen!?
Pi-tsch Auf diesen Beitrag antworten »

smile
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann...stimmt ja...wenn ich dann so weiterrechne, dann läuft alles auf die mitternachtsformel aus!

16 < x² + 6x + 9 /-16
0 < x² + 6x + 9 - 16

naja...und was muss ich dann machen? 9-16 kann ich ja nicht rechnen, weil es dann keine quadratische gleichung mehr ist!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist völlig destruktiv, das einmal vorhandene vollständige Quadrat durch Ausmultiplizieren (binomische Formel) zu zerstören! Nein, direkt Wurzel ziehen lautet die richtige Strategie:



Und dann Beträge auflösen, wie üblich:

1.Fall:

2.Fall:



EDIT: Oben bei b) stand noch ... Na, entscheide dich, ob + oder - . Augenzwinkern
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

hm...ich verstehe, des gleiche gilt ja dann bei c) und wenn ich es richtig verstanden habe, dann muss ich die quadr. Funktion bei d) faktorisieren und dann genau das gleich wie bei a) bis c) machen oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von paulinchen
wenn ich es richtig verstanden habe, dann muss ich die quadr. Funktion bei d) faktorisieren und dann genau das gleich wie bei a) bis c) machen

Ich würde es präziser als "quadratisch ergänzen" bezeichnen. Aber falls du das meinst, dann hast du recht.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht auch anders: man weiß, dass (x+3)² zwischen 16 und 49 liegt.
dann setzt man einmal für y 16 ein: 16=(x+3)² => x berechnen: 2 lösungen gibt es. dasselbe mit 49. dann die beiden intervalle verbinden.
aber es ist im prinzip dasselbe, deswegen ist dieser beitrag nur noch überflüssig. Die admins werden ihn eh löschen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TommyAngelo
Die admins werden ihn eh löschen.

Da werden wir dich wohl enttäuschen müssen: Warum sollten wir?
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Es ist völlig destruktiv, das einmal vorhandene vollständige Quadrat durch Ausmultiplizieren (binomische Formel) zu zerstören! Nein, direkt Wurzel ziehen lautet die richtige Strategie:



Und dann Beträge auflösen, wie üblich:

1.Fall:

2.Fall:



EDIT: Oben bei b) stand noch ... Na, entscheide dich, ob + oder - . Augenzwinkern




Also ich muss ja x berechnen, d.h., ich gehe so vor:

x-3 > 4 / +3
x > 7

und

x-3 < 7 /+3
x < 10

Lösung: L=[7,10]

So...nun hab ich mir die c) angschaut und da komm ich wieder nicht weiter böse

15 > x² - 1 > 3

Wie soll ich hier die Wurzel ziehen?? Da kommt bei 15 und 3 eine krumme Zahl raus und ich will doch ein genaues Ergebnis für x. Außerdem ist das in der Mitte die 3. binomische Formel, wie soll ich von (x+3)(x-3) die Wurzel ziehen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

naja wenn gilt:

dann gilt doch auch:

Das auf der anderen Seite genauso und du kannst wieder Wurzelziehen.
Und wegen krummen Ergebnis: einfach so stehen lassen. Ist nicht krumm sondern mathematisch genau Augenzwinkern
edit: ah nachdem du + machst, geht es natürlich auch wieder auf mit der Wurzel Augenzwinkern
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hm...das hab ich mir auch so gedacht, aber darf man ein Binom "auseinanderreißen"? smile Weil x²-1 ja die 3. Form is...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst du das "auseinanderreißen". Ist hier sogar gewollt was man daran sieht das dannach die Wurzeln aufgehen Augenzwinkern
Die 3. Form hat damit nichts zu tun.
Es könnte genauso dastehen:

und da hast du ja keine 3. Binomische Formel mehr
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau: Wichtig sind allein vollständige Quadrate, deswegen ja mein obiger Hinweis quadratische Ergänzung, was dann auch bei d) ganz hilfreich ist. Man will ja schließlich nicht irgendwelche Strukturen erhalten, sondern nach auflösen!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm wieder net weiter böse ich hab versucht, bei d) die gleichung quadr. zu ergänzen, also:

die ausgangsgleichung: -52 < x² - 8x - 4 < -20

nach der quadr. ergänzung: -52 < (x-4)² + 32 < -20

einzeln betrachtet wäre es ja
(x-4)² + 32 > -52
und
(x-4)² + 32 < -20

der einzige weg, den ich wüsste, wäre die 32 auf die andere seite zu bringen und dann die wurzel zu ziehen, aber dann käme eine negative zahl (-52-32= -84) heraus, und ich weiß, dass man von einer negat. zahl keine wurzel ziehen darf!

was nun?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von paulinchen
die ausgangsgleichung: -52 < x² - 8x - 4 < -20

nach der quadr. ergänzung: -52 < (x-4)² + 32 < -20

Falsch umgeformt - bitte Details zur Rechnung!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

hm..also:

x²-8x-4

wir haben es gelernt, es quadr. zu ergänzen:

8:2 = 4 und 4 ²= 16

(x² - 8x +16) - 16 - 4

(x-4)² - 20

oh...ich merke meinen fehler :-)

aber trotzdem, wie ich weiter machen soll, weiß ich trotzdem nicht! weil beim rechten term dann (x-4)² < 0 ist und bei dem linken kommt trotzdem eine negative zahl heraus, wenn ich die -20 auf die andere seite bringen will!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von paulinchen
beim rechten term dann (x-4)² < 0

Genau: Und jetzt innehalten und nachdenken: Ein Quadrat, welches kleiner als Null ist? Geht das überhaupt? Und wenn nicht, was bedeutet das für die Lösungsmenge der Ungleichung?
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

naja...wenn es kleiner 0 ist, dann gibt es keine lösung! aber was ist dann mit dem anderen term (-52)? wie bringe ich die ungleichung mathematisch korrekt aufs blatt? :-) eine lösungsmenge muss ich ja trotzdem angeben....und die lösung hab ich auch und da steht, dass die gemeinsame Lösung 4 ist, nur frage ich mich, wie die darauf gekommen sind??
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei so einer Doppelungleichung müssen beide Ungleichungen erfüllt sein, siehe obige Anmerkung von N8schichtler. Wenn also bereits ein Teil (hier der rechte) von keinem erfüllt wird, kann man aufhören, da spielt es überhaupt keine Rolle, was der andere Teil macht!!!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

achso, klingt einleuchtend smile danke, jetzt bin ich für die prüfung einigermaßen gerüstet Lehrer
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Lösunsmenge: Nein, 4 als Lösung von



ist falsch. Es kann natürlich sein, dass du die Aufgabe falsch hingeschrieben hast und eigentlich



meinst - dann ist das was anderes!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja doch! so stehts eigtl. da, aber ich kann das zeichen nicht machen und ich hätte nicht gedacht, dass das so ein großer unterschied ist, aber jetzt wo ich überleg, machts ja nichts mehr aus, dass der rechter term 0 ist, weil es ja dann kleiner/GLEICH heißt oder? dann stimmt doch die lösung 4?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann stimmt die 4: Die Ungleichung ist gleichbedeutend mit , da ja "echt" negativ links beim Quadrat nicht möglich ist.

Und hat natürlich die eine Lösung .

Ob < oder < macht also sehr wohl einen Unterschied!
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich verstehe...ich wusste nicht, wie ich das zeichen machen soll, deshalb hab ich es ganz vergessen, dass die gleich. auch gleich 0 ist! aber jetzt verstehe ich die lösung von 4! und für die prüfung ist mir damit auch geholfen, danke smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Noch als Ergänzung, falls du mal auf einen "gemischten" Fall triffst wie z.B.



Nach quadratischer Ergänzung wird daraus



In diesem Fall hast du ja ein Quadrat in der Mitte, welches immer nichtnegativ ist. Also ist die Bedingung "größer -7" automatisch erfüllt und kann gleich ganz weggelassen werden. D.h., Doppelungleichung (*) ist äquivalent zur einfachen Ungleichung



Hab ich jetzt nur ergänzt, weil so ein Fall hier bei a) bis d) nicht vorkam, aber durchaus auch denkbar ist
paulinchen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich verstehe...jetzt weiß ich, wie ich doppelungleichungen anzugehen habe und das beispiel mit dem "negativen quadraten" ist auch gut :-) also danke für die hilfe! war sehr hilfreich Augenzwinkern
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