metrischer Raum, offene Kugel => abgeschlossene Teilmenge

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18.12.2011, 16:36	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
metrischer Raum, offene Kugel => abgeschlossene Teilmenge Hallo hab mal ne Frage zu dem Beweis: Es soll gezeigt werden das wenn B(a,r) eine offene Kugel ist das B(a,r) eine offene Teilmenge von X ist. Dieser Teil verwirrt mich etwas: $\begin{eqnarray} Es\; gilt\; B(x;\varepsilon) \subseteq B(a; r). \end{eqnarray}$ was bedeutet das "Es gilt"? Ist das gleichzusetzen mit daraus folgt? wenn ich das bis hierhin richtig verstanden habe dann gilt die Teilmengenbeziehung doch nicht für jedes beliebige x? oder doch? gruß
18.12.2011, 16:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: metrischer Raum, offene Kugel => abgeschlossene Teilmenge Mal Dir das mal auf. Was hier gemacht wird, ist einfach nur Folgendes: Zum Punkt $\begin{eqnarray} x\in B(a,r) \end{eqnarray}$ findet man ein $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} B(x,\epsilon) \end{eqnarray}$ ganz in $\begin{eqnarray} B(a,r) \end{eqnarray}$ enthalten ist, das meint das $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ . Dieses Epsilon ist $\begin{eqnarray} r-d(a,x) \end{eqnarray}$ .
18.12.2011, 16:57	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
ok hab mir das gerade mal aufgemalt... trotzdem bin ich der Meinung das es nicht für jedes beliebige x aus B(a,r) möglich ist so ein epsilon zu finden richtig?
18.12.2011, 17:00	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, zu jedem $\begin{eqnarray} x\in B(a,r) \end{eqnarray}$ . Das ist ja gerade das Entscheidende. Sonst wäre es ja keine offene Menge.
18.12.2011, 17:02	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt ich sehe es selber gerade.... danke für deine Hilfe das mit dem aufmalen hat wirklich geholfen mal sehen ob ich den Rest auch alleine verstehe
18.12.2011, 18:39	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Sache mit der offenen Kugel meine ich halbwegs verstanden zu haben nun soll ich zeigen Das wenn die Kugel B[a,r] abgeschlossen ist B[a,r] abgeschlossene Teilmenge von X ist. Als Hinweis steht noch da das man zeigen soll das X\B[a,r] offen ist. kann man jetzt so ähnlich vorgehen wie bei der offenen kugel? gruß
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18.12.2011, 18:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wähle einfach für ein Element $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ außerhalb der Kugel: $\begin{eqnarray} \epsilon=d(x,y)-r \end{eqnarray}$
18.12.2011, 19:35	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
ok so hab ichs mir auch überlegt ist das dann richtig? $\begin{eqnarray} Sei\;x\;\in X\setminus B[a,r]\;Dann\; \epsilon = d(x,a) - r.\; Es\;gilt\; B(x,\epsilon)\subseteq X\setminus B[a,r] \\<br /> Fuer\;y \in B(x,\epsilon)\; ist:\\<br /> \\<br /> d(a,y)\geq d(x,a)-d(y,x)>d(x,a)-\epsilon\; = d(x,a) -(d(x,a)-r))\; =\;r \end{eqnarray}$
19.12.2011, 00:42	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, studierst auch an der TU Dresden? Der Beweis dürfte so hinhauen, jedenfalls hab ich ihn auch so geführt. Gruß, Pavel
19.12.2011, 04:38	Truebypass	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Pavel haste richtig erkannt ich studiere an der TU Dresden im 1. Semester Mathematik du etwa auch? gruß
19.12.2011, 04:46	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, ich auch. Ich schreib dir mal ne PM, vielleicht haben wir uns ja schon ab und zu mal gesehen.^^
19.12.2011, 06:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, wie das Matheboard Menschen zusammenführt.

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