Ableitung e-Funktion

18.12.2011, 18:24

Zw3rgy

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Ableitung e-Funktion

Hallo zusammen,

ich hänge an einer Aufgabe fest und komme nicht voran.

Ich muss die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 10^6 * e^(2x-(0.5x)^2) \end{eqnarray*}$ ableiten und soweit ich weiß habe ich dazu die Produkt- und Kettenregel zur Verfügung nur habe ich keine Ahnung wie ich das recht anstelle.

Meine Überlegungen:

$\begin{eqnarray*} u = 10^6 * e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v = 2x-(0.5x)^2 \end{eqnarray*}$

und u' wäre dann: $\begin{eqnarray*} 10^6 * e^x \end{eqnarray*}$ und v' dann: $\begin{eqnarray*} 2-1x \end{eqnarray*}$

Danke schonmal im vorraus für eure Hilfe.

Gruß zw3rgy

[EDIT:] liege ich damit richtig, dass ich hier die Kettenregel anwenden muss?

18.12.2011, 18:32

Leander1

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RE: Ableitung e-Funktion
Ich gehe mal davon aus, dass du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 10^6 * e^{2x-(0.5x)^2} \end{eqnarray*}$ meinst.
Die Ableitung von v ist falsch. Ja, man muss hier die Kettenregel benutzen.

18.12.2011, 18:45

Zw3rgy

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Danke für deine Antwort.

Mittlerweile habe ich auch gemerkt dass ich die Kettenregel anwenden muss und habe es wie folgt gelöst:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 10^6*e^{2x-(0.5x)^2}*(2-x) \end{eqnarray*}$

Wieso ist v denn falsch abgeleitet?

[NACHTRAG:] Wie muss ich denn vorgehen, wenn ich diese Funktion jetzt gleich Null setzen möchte?

Gruß zw3rgy

18.12.2011, 19:20

Leander1

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$\begin{eqnarray*} v=2x-(0.5x)^2=2x-0.5^2*x^2=2x-0.25x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=2-0.5x \end{eqnarray*}$

Deine Lösung ist richtig, wenn du noch v' berichtigst.
Für die Nullstellenbestimmung der Ableitung sind Zwei Regeln wichtig:
Ein Produkt ist Null wenn einer seiner Faktoren Null ist.
Die e-Funktion ist nie gleich Null.

18.12.2011, 19:35

Zw3rgy

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Mein Fehler war es dass ich die Klammern falsch gesetzt habe.

Also es kommt für v' (auch laut der Lösung) 2-1.0x raus und nicht 0.5x. Meine Schuld sorry!

Nun bin ich grade dabei es gleich Null zu setzen:

$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * 2-x= 0 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * 2-x = 0 | : 10^6 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} e^{2x - 0.5x^2} * 2-x = 0 | : (2-x) \end{eqnarray*}$

3. $\begin{eqnarray*} e^{2x - 0.5x^2} = 0/2-x | : ln \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} 2x - 0.5x^2 = ln ( 0/2-x ) | : \end{eqnarray*}$

Bis hierhin komme ich, wobei der Weg nicht stimmen wird.

Ich habe nicht wirklich die Ahnung ob das so in irgendeiner Art und Weise richtig sein könnte.

Gruß zw3rgy

18.12.2011, 20:04

Zw3rgy

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Ich benötige dringend Hilfe, da ich morgen über genau dieses Thema eine Klausur schreibe. unglücklich

unglücklich

Wenn sich jemand aufopfern würde mir das zu erklären bzw. mich zu korrigieren wäre das echt klasse.

Gruß zw3rgy

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18.12.2011, 21:29

chris_78

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Du gehst da völlig falsch an die Sache ran.
Zunächst einmal ist dies ja wohl die Gleichung die es zu lösen gilt:
$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * (2-x)= 0 \end{eqnarray*}$
Die Klammer muss da gesetzt sein.
Und dann, wie schon erwähnt wurde: "Ein Produkt ist Null wenn einer seiner Faktoren Null ist." und "Die e-Funktion ist nie gleich Null."
1. Faktor: $\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} \end{eqnarray*}$
2. Faktor: $\begin{eqnarray*} (2-x) \end{eqnarray*}$

18.12.2011, 22:05

Zw3rgy

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Heisst das jetzt ich muss die Kettenregel anwenden oder wie gehe ich da jetzt vor?

Ich hab da gerade echt keinen blassen Schimmer.

$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * (2-x) = 0 \end{eqnarray*}$

Gruß zw3rgy

18.12.2011, 22:21

Leander1

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$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * (2-x) = 0 \Leftrightarrow (2-x) = 0 \Leftrightarrow x=2 \end{eqnarray*}$

18.12.2011, 22:28

chris_78

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Warum Kettenregel? Wir wollen jetzt eine Gleichung lösen und nicht ableiten.
Du hatttest $\begin{eqnarray*} f(x) = 10^6 * e^{2x-0.5x^2} \end{eqnarray*}$ als Ausgangsfunktion.
Auf die Ableitung kamst Du dann richtigerweise mit Kettenregel zu
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 10^6*e^{2x-0.5x^2}*(2-x) \end{eqnarray*}$

Setze einfach die beiden Faktoren einzeln gleich Null

18.12.2011, 22:35

Zw3rgy

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Das heisst also, dass ich einfach durch beide faktoren teile und sie somit wegfallen.

Wenn dem so ist dann hab ich es doch verstanden smile

smile

.

Danke für eure Hilfe!

Die 2. ableitung folgt dann jetzt mit der Kettenregel stimmts?

Mfg zw3rgy

18.12.2011, 22:44

Leander1

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Gern geschehen!
Die Produktregel brauch man für die 2. Ableitung auch.

18.12.2011, 22:53

chris_78

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Zitat:

Original von Zw3rgy
Das heisst also, dass ich einfach durch beide faktoren teile und sie somit wegfallen.

Nein! Du teilst nicht durch die Faktoren!!!
$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2} * (2-x) = 0 \end{eqnarray*}$
Du begründest nur, dass ein Produkt, genau dann Null ergibt, wenn einer der Faktoren Null ist.
Also ist obige Gleichung erfüllt, wenn entweder
$\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2}=0 \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} (2-x)=0 \end{eqnarray*}$

Da die e-Fkt nie Null wird existiert für $\begin{eqnarray*} 10^6 * e^{2x - 0.5x^2}=0 \end{eqnarray*}$ keine Lösung. Bleibt noch $\begin{eqnarray*} (2-x)=0 \end{eqnarray*}$ , was wie schon erwähnt zur Lösung x=2 führt.

18.12.2011, 23:07

Cel

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Was spricht denn gegen die Formulierung, durch den e-Term teilen zu wollen? Ist ungleich Null, macht also keine Probleme.

18.12.2011, 23:30

Zw3rgy

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Danke jetzt hab ichs endgültig verstanden. smile

smile

19.12.2011, 00:03

chris_78

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Zitat:

Original von Cel
Was spricht denn gegen die Formulierung, durch den e-Term teilen zu wollen? Ist ungleich Null, macht also keine Probleme.

Stimmt, wenn mit beiden Faktoren 10^6 * und e^{2x - 0.5x^2} gemeint waren kann man das auch so formulieren.
Aber eben auch nur, weil der e-Term ungleich Null ist. Das sollte man dann schon klar stellen, sonst sehe ich, dass bei so einer Gleichung
$\begin{eqnarray*} sin(x)*(x-3)=0 \end{eqnarray*}$
fälschlicherweise durch sin(x) geteilt wird.

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