Schwartzraum mit Faltung ist Algebra ohne Einselement

18.12.2011, 18:46	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwartzraum mit Faltung ist Algebra ohne Einselement Hallo, ich soll zeigen, dass im Schwartzraum $\begin{eqnarray} \mathcal{S} \end{eqnarray}$ , der mit der Faltung als Multiplikation eine Algebra ist, kein Einselement existiert. Hatte schon an einen Widerspruchsbeweis gedacht, bin mir aber nicht sicher. Welche Ideen habt ihr dazu? Liebe Grüße
18.12.2011, 21:43	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwartzraum mit Faltung ist Algebra ohne Einselement Ich denke dir ist klar, was das Einselement wäre, oder? Das wäre die Deltadistribution, die aber offenbar keine Schwartzfunktion ist. Aber vielleicht gibt dir das eine Idee, was zu tun ist. Widerspruch ist natürlich immer eine gute Idee, wenn man nicht weiß, was man tun kann . Meine Grundidee wäre folgende: Schau dir mal Funktionen mit kompaktem Träger an, dann lässt sich das Integral in der Faltung auf den Träger beschränken. Konkret: $\begin{eqnarray} \varphi\in C^{\infty}_0 \subset\mathcal{S} \end{eqnarray}$ und es gilt: $\begin{eqnarray} \varphi(x)=\int_{\operatorname{supp}\varphi} \psi(x-y)\varphi(y)\,\mathrm{d}y \end{eqnarray}$ Und jetzt schau dir das ganze mal an einer Stelle $\begin{eqnarray} x\notin \operatorname{supp}\varphi \end{eqnarray}$ an. Da muss das Integral verschwinden. Siehst du, warum du da bei beliebigem $\begin{eqnarray} \varphi\in C^{\infty}_0 \end{eqnarray}$ Probleme bekommst? Gruß MI
18.12.2011, 23:18	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
MI's Idee ist absolut richtig. Aber vielleicht kommt man mit folgender Idee noch ein bisschen billiger weg: Wäre $\begin{eqnarray} \psi(x) \end{eqnarray}$ Einselement in $\begin{eqnarray} \mathcal S \end{eqnarray}$ , dann würde insbesondere gelten: $\begin{eqnarray} \psi(x) &=& (\psi \ast \psi)(x) \\ &=& \int \psi(x-y) \psi(y)\; \mathrm d y \end{eqnarray}$ Der Integrand $\begin{eqnarray} y\mapsto \psi(x-y) \psi(y) \end{eqnarray}$ hat nun eine gewisse Symmetrie, welche dir zu einem Widerspruch verhilft. Siehst du sie?
19.12.2011, 13:21	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für diese 2 Ideen. Der Anfang von gonnabphd ist gleich meinem, allerdings weiß ich leider nicht, wo ich den Widerspruch herholen soll
19.12.2011, 22:49	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich nicht sehe, wie ich dir einen weiteren Tipp dazu geben kann, ohne gleich die Lösung mehr oder weniger hinzuschreiben, würde ich vorschlagen dem Hinweis von MI nachzugehen (mein Tipp ist weiterhin: Suche eine Symmetrie des Integranden, d.h. eine Transformation unter welcher dieser invariant bleibt und benutze diese).

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