Beweis: Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren

Neue Frage »

MatheBenni Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren
Hallo,
Wir bräuchten eure Hilfe. Wir sollen beweisen, dass zwei unabhängige normalverteilte Zufallsvektoren addiert wieder einen normalverteilten Zufallsvektor ergeben. Wir haben einen Beweis angegeben haben aber noch einige Fragen dazu. Hier erstmal der gegebene Beweis:

Behauptung:
Seien und unabhängige normalverteile Zufallsvariablen mit Erwartungswerten und Varianzen , i=1,2 so ist die Summe eine N-verteilte Zufallsvariable.

Beweis:
Wenn eine der beiden Varianzen oder dann ist der Beweis trivial.


Sei nun , i=1,2.

und

so ist



Also ergibt sich



mit einer N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen Daraus folgt die Behauptung.

Nun zu unseren Fragen (schonmal vorher Danke für eure Hilfe):

Warum ist die Behauptung bewiesen wenn oder ?

Warum nimmt man den aus und zusammengesetzten Zufallsvektor/ was hat dieser mit der Summe zu tun?

Warum genau dieses orthogonale System ? Woher kommt es, und was bewirkt es?

Auch für Teilbeantwortung wären wir sehr dankbar. Vielleicht kann uns irgendjemand den Beweis bzw. die Vorgehensweise mit eigenen Worten erklären.
Wir müssen uns leider an dem Beweis den ich geschrieben habe orientieren und dürfen nicht einen anderen auch funktionierenden Beweis hernehmen.

Danke im Voraus

MatheBenni
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

hi...

Zitat:
Warum ist die Behauptung bewiesen wenn oder ?


bewiesen ist es damit nicht, nur laut deinem professor trivialAugenzwinkern wenn z.b. ist, dann besitzt keine "abweichungen", mit anderen worten sie muss konstant sein, also .
und ist normalverteilt da

allgmein gilt: falls U normalverteilt so auch . (a,b reelle zahlen)
benötigt wird diese aussage unteranderem auch hier:

Zitat:


wenn man also weiss, dass standardnormalverteilt ist, folgt also normalverteilt. mit welchen parametern sie normalverteilt ist, rechnet man im zweifelsfall nach:


(für X_1+X_2 die obige gleichung natürlich einsetzen und dann entsprechenden eigenschaften des erwartungswertes benutzen)

Zitat:
Warum nimmt man den aus und zusammengesetzten Zufallsvektor/ was hat dieser mit der Summe zu tun?

Warum genau dieses orthogonale System ? Woher kommt es, und was bewirkt es?


das ist anscheinend gerade der trick des beweises. mit diesen zusammengesetzen bzw. definierten werten ist ja standardnormalverteilt und somit wie oben beschrieben der rest klar.
die entscheidene frage ist wieso standardnormalverteilt ist und das müsste irgendwo vermutlich in deinem skript stehen.
MatheBenni Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren
Wir haben den Beweis dank deiner Hilfe jetzt soweit verstanden. Großes Danke von uns schon mal dafür. Für alle die vielleicht ein ähnliches Problem haben, hier jetzt unsere Interpretation + eine kleine Schlussfrage.

Dass standardnormal verteilt ist folgt aus folgendem Satz:

Sei ein n-dimensionaler Zufallsvektor mit unabhaengigen identisch N~(0,1)-verteilten Komponenten und ein Orthonormalsystem von Vektoren im . Dann sind n unabhaengige identisch N~(0,1)-verteilte Zufallsvariablen.

Im letzten Schritt folgt die Behauptung aus folgendem Satz wobei ist und und von genommen wird, also 0 und 1 da es standardnormalverteilt ist.

Sei X eine -verteilte Zufallsvariable und seien und b reelle Zahlen. Dann ist eine -verteilte Zufallsvariable.

Unsere letzte kleine Schluss frage bezieht sich auf kann uns jemand sagen ob
ein Kunstgriff ist also man es einfach nimmt, weil es gut passt oder ob da noch mehr dahintersteckt.
Und wir wären jedem dankbar, der uns auf eventuelle Fehler hinweist, oder noch andere Anregungen hat.

Mit freundlichen Grüßen und nochmals einem großen dankeschön

MatheBenni
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

nix zu danken & schön das ihr es verstanden habt.
eure interpretation ist übrigens richtig und mit den entsprechenden sätzen auch schöner für aussenstehende zu verstehen.

zu eurem u1 kann ich euch nicht wirklich helfen, es ist mir zwar klar, dass es so aussehen muss sonst würde der beweis halt nicht aufgehen. aber ob das ein intuitiv gewähltes oder ein standardmove ist weiss ich auch nicht. ich könnte mir vorstellen, dass im beweis von dem satz(mit den orthonormalsystem) vll ein konstruktives verfahren für das u1 bzw. u_i angegeben wird oder sowas in der art.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »