Suffizienz

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Suffizienz
Meine Frage:
Sei eine i.i.d. Stichprobe eines Poissonverteilten Untersuchungsmerkmals Y mit unbekanntem Parameter . Man zeige

(a) durch Angabe der bedingte Verteilung von X unter der Bedingung ,

(b) mit Hilfe des Neyman-Kriteriums,

daß die Statistik suffizient für ist.

Meine Ideen:
Also erstmal zu (a):

Ich muss hier zeigen, daß unabhängig von ist.

Also was ich weiß, ist, daß der Ausdruck im Nenner poissonverteilt ist zum Parameter , der Nenner müsste also wohl lauten:




Aber mit dem Zähler komme ich nicht zurecht.


Edit 1-4:

Eine Idee habe ich doch.

Und zwar beschreibt der Zähler doch die Wahrscheinlichkeit, daß sich die einzelnen Zufallsvariablen so und so realisieren und die Summe dieser Realisierungen gleich t ist.
Ist das nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit, daß eine der Zufallsvariablen den Wert annimmt und die anderen den Wert 0?

Dafür gäbe es dann n Möglichkeiten.

Stünde nicht dann im Zähler:





Wenn das stimmen sollte, käme ich dann insgesamt auf und das ist unabhängig von .


Edit 5 & 6:

Jetzt noch meine Idee zu (b):

und wenn ich das so schreibe:



sieht man, daß das Neyman-Kriterium erfüllt ist.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suffizienz
Zitat:
Original von Dennis2010
Edit 5 & 6:

Jetzt noch meine Idee zu (b):

und wenn ich das so schreibe:



sieht man, daß das Neyman-Kriterium erfüllt ist.


das sollte passen.

zu a): ihr habt doch bestimmt das standardbeispiel für X_1,...,X_n binomialverteilt durchgenommen, falls nicht siehe google. auf jedenfall ist es mal eine gute vorübung weil im prinzip ist das glaub ich nicht gross anders. du solltest dir auch mal anschaun wie die summe poisonverteilter zufallsvariablen aussieht.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suffizienz
Zitat:
Original von dinzeoo
du solltest dir auch mal anschaun wie die summe poisonverteilter zufallsvariablen aussieht.


der satz war überflüssig sehe ich gerade, sorry...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suffizienz
Wo genau liegen denn meine Fehler bei (a)?


Edit: Ja, das Beispiel mit der Binomialverteilung habe ich vorliegen; dort fällt im Zähler die Bedingung ja aber einfach weg bzw. man kann sie weglassen.

Ich weiß aber nicht, ob man das hier auch machen kann, ich denke nicht.
Deswegen hatte/ habe ich Schwierigkeiten mit dem Zähler.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

also eigentlich ist es mehr oder weniger schon dasselbe wie bei dem binomialverteilten modell.
dein edit 1-4 ist falsch, X_i kann übrigens nur die werte 0 oder 1 annehmen (genauso wie binomialverteilte zufallsgrössen).

naja gut, hier mal der anfang: (ich pass das auch etwas an meine notation an, solltest du damit nicht zurecht kommen kannst gerne fragen)



das ist dein nenner, übrigens identisch zum binomialverteilten fall. jetzt musst dir also überlegen was ist.

was wissen wir? sind unabhängig alle poison verteilt und die summe von
(nochmal zur sicherheit: kann nur die werte 0 oder 1 annehmen)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso können denn nur die Werte 0 oder 1 annehmen?

Es handelt sich doch um die Poissonverteilung? verwirrt


Edit: Wikipedia hat mir das gerade erklärt: Die Poissonverteilung entsteht beim mehrmaligen Durchführen eines Bernouilli-Experiments. Klar, daß dann nur die Werte 0 oder 1 angenommen werden können.


Ich versuche mal zu verstehen, was Du in Deinem letzten Post geschrieben hast.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also für den Zähler habe ich dann:

.

Für den Nenner weiterhin:

und insgesamt:

0, wenn

, sonst
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
0, wenn

das stimmt schonmalAugenzwinkern

Zitat:

, sonst


woher kommt das produkt mit den fakultäten genau? ansich siehts aber schonmal gut ausAugenzwinkern
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

aso, ok... dein ergebnis passt.

das produkt ist übrigens 1, da 0!=1 und 1!=1...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler berechnet man doch die Produktdichte, oder?

Kann man doch, weil die unabhängig sind.


Also rechnet man doch quasi

.

Und das ist doch , oder?



-----------

Nochmal eine grundsätzliche Frage.

Wieso kann man eigentlich bei der binomialverteilten ZV und auch hier die Bedingung im Zähler weglassen? So ganz habe ich das noch nicht verstanden.
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Im Zähler berechnet man doch die Produktdichte, oder?

Kann man doch, weil die unabhängig sind.


Also rechnet man doch quasi

.

Und das ist doch , oder?


ist alles richtig, ich hatte die fakultäten nicht mitgezogen,deswegen hab ich es nicht direkt gesehen woher du die aufeinmal hast.





Zitat:

Nochmal eine grundsätzliche Frage.

Wieso kann man eigentlich bei der binomialverteilten ZV und auch hier die Bedingung im Zähler weglassen? So ganz habe ich das noch nicht verstanden.


welche bedingung meinst du genau? hatte den einwand auch gerade schon nicht verstanden.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine dies hier:




Wieso kann man hier die Bedingung im Zähler denn einfach weglassen?
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

ok...
man lässt es eigentlich nicht wirklich weg, sondern rechnet es aus.



das berechnet man ganz normal wie du es gemacht hast. ausführlicher sieht es dann aber so aus:



und mit bisschen überlegen folgt:



vll mal in worten:

für die schnittmenge können zwei fälle eintreten,

1.fall: . dann ist natürlich die wahrscheinlichkeit =0 da als bedingung T(X)=t vorausgesetzt.

2:fall: , dann ist aber die schnittmenge gleich
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

wichtig ist auch, dass dir das klar ist: (mal in verschiedenen notationen)









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