Konvergenzradius 0 ?

19.12.2011, 12:22	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius 0 ? Hallo allerseits Ich weiß, dass es schon viele Beiträge zum Thema Potenzreihe und Konvergenzradius hier gab. Trotzdem wäre ich froh, wenn ihr meinen Ansatz für folgende Aufgabe mal kurz checken könntet: Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{1}{z^{2}-5z+6} \end{eqnarray}$ um den Punkt $\begin{eqnarray} z_{0}=0 \end{eqnarray}$ Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf: $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{-1}{z-2}+\frac{1}{z-3} \end{eqnarray}$ und mittels geometrischer Reihe die Darstellung: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (z-1)^{n} +\sum\limits_{n=0}^\infty (4-z)^{n} \end{eqnarray}$ Mit dem Quotientenkriterum konvergiert der 1. Summand, falls $\begin{eqnarray} z\in (0,2) \end{eqnarray}$ und der 2. Summand, falls $\begin{eqnarray} z\in (3,5) \end{eqnarray}$ . Mein Problem ist jetzt, dass diese beiden Intervalle nicht symmetrisch zu meinem Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} z_{0}=0 \end{eqnarray}$ sind. Bedeutet dies dann Konvegenzradius 0 ? Viele Grüße Biene
19.12.2011, 12:34	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast gar nicht um die 0 entwickelt. Du musst so vorgehen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-3} = \frac{\frac{-1}{3}}{1-\frac{z}{3}} \end{eqnarray}$ Nun kannst du um die 0 entwickeln. Ähnlich gehst du bei dem anderen Summanden vor. Insgesamt wirst du höchstens Konvergenzradius 2 bekommen, denn bei z=2 liegt eine Singularität vor.
19.12.2011, 13:06	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank tmo. Du hast natürlich Recht. Dann erhalte ich also: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z}{3} )^{n} +\frac{1}{2} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{z}{2} )^{n} \end{eqnarray}$ Und als Konvergenzradius beim 1. Summanden 3 und beim 2. Summanden 2 Also ist der Konvergenzradius insgesamt 2. Stimmt es jetzt? Gruß Biene
19.12.2011, 13:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht gut aus.

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