Untervektorraum

19.12.2011, 15:18

Denise91

Untervektorraum

Meine Frage:
K={P(X) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 4[X]; -2-X+ $\begin{eqnarray*} X^{2} \end{eqnarray*}$ teilt P(X)}

Nun soll ich Dimension und Basis berechnen.

Meine Ideen:
P(X) ist ja dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{aX+bX^{2}+cX^{3}+X^{4} }{-2-X+X^{2} } \end{eqnarray*}$
also ist K =
$\begin{eqnarray*} <\frac{X}{-2-X+X^{2} };\frac{X^{2} }{-2-X+X^{2} };\frac{X^{3} }{-2-X+X^{2} };\frac{X^{4} }{-2-X+X^{2} }> \end{eqnarray*}$

also ist dim =4 aber wie berechne ich die Basis???

Brauche wirklich eure Hilfe, danke schonmal smile

19.12.2011, 15:50

Mulder

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RE: Untervektorraum

Zitat:

Original von Denise91
Meine Ideen:
P(X) ist ja dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{aX+bX^{2}+cX^{3}+X^{4} }{-2-X+X^{2} } \end{eqnarray*}$

Das macht ja nun gar keinen Sinn. In K liegen alle Polynome, die ein Vielfaches von (x²-x-2) sind, sich also ohne Rest durch (x²-x-2) dividieren lassen.

Zitat:

Original von Denise91
also ist K =
$\begin{eqnarray*} <\frac{X}{-2-X+X^{2} };\frac{X^{2} }{-2-X+X^{2} };\frac{X^{3} }{-2-X+X^{2} };\frac{X^{4} }{-2-X+X^{2} }> \end{eqnarray*}$

Das ist auch wieder ganz falsch, das sind generell doch gar keine Polynome (=ganzrationale Funktionen) mehr. Somit liegen sie auch nicht in K, sie liegen noch nichtmal in dem übergeordneten Vektorraum R[X]4.

Setze so an: Ein beliebiges Polynom p aus K ist von der Form

$\begin{eqnarray*} p = (ax^2+bx+c) \cdot (x^2-x-2) \end{eqnarray*}$

Der Grad von p darf ja nur höchstens 4 sein, so erklärt sich der erste Faktor von p.

20.12.2011, 08:02

Denise91

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muss ich die dann ausmultiplizieren um eine Basis zu bestimmen, weill ich brauche ja erst mal die einzelnen Koeffizienten, wie x^2, x^3,x^4 oder nicht aber wie komme ich darauf???

20.12.2011, 11:51

Mulder

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Zitat:

Original von Denise91
muss ich die dann ausmultiplizieren um eine Basis zu bestimmen, weill ich brauche ja erst mal die einzelnen Koeffizienten, wie x^2, x^3,x^4

Das sind keine Koeffizienten. a,b und c wären Koeffizienten.

Die Basisvektoren müssen auch allesamt Vielfache von (x²-x-2) sein, damit auch jede erdenkliche Linearkombination der Basiselemente wieder in K liegt. Damit wird dann doch schnell klar, was zu tun ist.

21.12.2011, 14:10

Denise91

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also wäre z.b eine basis a(x^2-x-2) oder??? aber was genau ist jetzt p(x)???

21.12.2011, 14:15

Denise91

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also ich musss für P(x) sowas haben: (......,......,....) aber komme nicht darauf, ich weiß zwar dass sie ein Vielfaches von x^2-x-2 sein müssen aber komme nicht weiter unglücklich

21.12.2011, 14:18

Mulder

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Zitat:

Original von Denise91
also wäre z.b eine basis a(x^2-x-2) oder???

Nein, wieso sollte das eine Basis sein? x³-x²-2x ist durch x²-x-2 teilbar, liegt also in K. Und wie willst du mit deiner angeblichen Basis bitteschön dieses Polynom erzeugen? Nochmal: Nimm diesen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} p = (ax^2+bx+c) \cdot (x^2-x-2) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Denise91
aber was genau ist jetzt p(x)???

Mit der Frage kann ich jetzt nichts anfangen.

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