Untergruppen = Unterringe?

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Shini Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen = Unterringe?
Und noch eine Frage. Diesmal eine wahrscheinlich leichte Frage.

Sind alle Untergruppen auch Unterringe? Ich denke ja. Im Moment fällt mir kein Gegenbsp ein. Aber vielleicht steh ich ja auch auf der Leitung.

LG Shini smile
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen = Unterringe?
hallo shini,
also diese frage ist sinnlos," unterringe" in diesem sinn gibt es nicht, wenn wir
teilmengen von ringen betrachten, sind wir wieder bei den idealen angekommen,
aber das hauptproblem ist: gruppen haben nur eine verknüpfung, ringe dagegen zwei, sodass man die beiden strukturen nicht miteinander vergleichen kann.
gruss ollie3
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir schon klar.

wieso gibt es keine Unterringe? Wir haben ein Kapitel, das hieß direkt so?

Ich frage deshalb:

Ich habe bei Z/6Z die Untergruppen {0}, {0,3}, {0,2,4} und Z/6Z.
Und die Ideale von Z/6Z sind genau dieselben.

Nun frag ich mich eben, ob das immer so ist.

LG Shini smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Fasst man einen (kommutativen) Ring als Modul über sich selbst auf, so sind die Ideale gerade die Teilmoduln. Also sind sie insbeondere Untergruppen der additiven Gruppe des Rings. Daher der Zusammenhang.
Die Umkehrung ist aber sicherlich falsch: Es ist etwa ein Untergruppe der additiven Gruppe der Körpers der rationalen Zahlen. Dieser hat aber nur triviale Ideale, da er eben ein Körper ist.

Das hat jedoch mit Teilringen herzlich wenig zu tun, es sei denn man lässt auch Ringe ohne 1 zu. Tut man dies, so sind Ideale natürlich auch Teilringe.
Tut man dies nicht, so findet man trotzdem haufenweise Beispiele: z.B. sind Teilringe, genau so ist für jeden Körper ein Teilring seines Polynomrings oder auch seines Matrizenrings: .
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht mir ja nicht um Ideale. Sondern rein um Unterringe.

Und Modul kenn ich nicht. Das hatten wir nicht.

Sorry. Ich hab oben in meinem 2. Post versehentlich Ideale geschrieben. Ich meinte Unterringe.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Shini
ja das ist mir schon klar.

wieso gibt es keine Unterringe? Wir haben ein Kapitel, das hieß direkt so?

Ich frage deshalb:

Ich habe bei Z/6Z die Untergruppen {0}, {0,3}, {0,2,4} und Z/6Z.
Und die Ideale von Z/6Z sind genau dieselben.

Nun frag ich mich eben, ob das immer so ist.

LG Shini smile


statt Ideale sollte hier Unterringe stehen
 
 
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das ist, wie gesagt, eine Frage der Definition. Lässt man Teilringe ohne 1 zu, so sind alle Ideale auch Teilringe. Lässt man - und ich denke dass dies verbreiteter ist - nur Teilringe mit 1 zu, so hat für kein nichttriviale Teilringe.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

aber muss denn die 1 immer die 1 sein? In {0,2,4} ist das Einselement doch die 4?

Denn soweit ich weiß, müssen die Einselemente nicht übereinstimmen.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die 4 in diesem Teilring wie ein Einselement wirkt ist wohl eher ein Zufall. Die Teilringdefinition besagt aber, dass eine Teilmenge mit der eingeschränkten Verknüpfung wieder ein Ring ist (egal ob mit 1 oder ohne) - insbesondere haben die neutralen Elemente übereinzustimmen.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

na die neutralen Elemente passen ja. Die 0 ist ja überall drin.

Also wenn es denn nicht so ist, dass die Untergruppen den Unterringen entsprechen, dann muss es doch ein Gegenbsp geben.

Noch bin ich der Ansicht, dass es so ist, weil mir kein Gegenbsp einfällt...
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nimm doch mal in die von erzeugte additive Untergruppe von , also mit der Addition reeller Zahlen als Verknüpfung. Dann liegt nicht in dieser Menge, also ist diese Untergruppe nicht multiplikativ abgeschlossen.

Zitat:
na die neutralen Elemente passen ja. Die 0 ist ja überall drin.

Der Einwand bezog sich auf die Einschränkung der Multiplikation. Das neutrale Element der Multiplikation in einem Teilring muss dasselbe sein, wie das Neutralelement der (ursprünglichen) Multiplikation im Oberring.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

Also ohne es nachzurechnen glaube ich dir, dass dies eine Untergruppe von ist. Und wohl kein Unterring. Danke.

Aber mit dem Einselement hatten wir in der Vorlesung was anderes. Diese müssen nicht übereinstimmen. wie vorhin das bsp, das ist kein Zufall. {0,2,4} ist immerhin auch ein Ideal von Z/6Z. Also muss da ja was dran sein. Oder?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir das von erzeugte Ideal in an.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Generell kannst du übrigens in jedem unitären Ring, indem der Ringhomomorphismus nicht surjektiv ist, ein Nicht-Nullteiler nehmen und die von x additiv erzeugte Untergruppe betrachten.

Dann ist stets , d.h diese Untergruppe hat keine Chance auch irgendwie ein Unterring zu sein.
Shini Auf diesen Beitrag antworten »

ich sag ja nicht, dass immer das Einselement ein anderes ist.

Aber nochmal Danke für die Gegenbspe. das reicht mir schon smile
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