Poissongleichung - Fourierreihe

19.12.2011, 19:06	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
Poissongleichung - Fourierreihe ich hätte eine Frage wegen der Poissongleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=h \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \partial \Omega \end{eqnarray}$ macht es irgendeinen Sinn, dass man fordert, dass h am Rand ebenfalls 0 ist? Ich hab hier als Lösungsmöglichkeit für den 2d Fall die Fourierreihe und der Autor stellt h mittels Fouriereihe einfach so dar, als obs am Rand ebenfalls 0 sein müsste, quasi siehts dann so aus $\begin{eqnarray} h\sim\sum\limits_{p,q=1}^\infty h_{p,q} \sin(\frac{p\pi x_1}{a}) \sin(\frac{q\pi x_2}{b}) \end{eqnarray}$ , falls es denn konvergiert einizige Voraussetzung an h ist die (stückweise) Stetigkeit, ja und $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ soll ein Rechteck sein Dass ich die Lösung u so darstellen kann, okay, aber h??
20.12.2011, 12:26	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird nicht gefordert, dass die rechte Seite der Poissongleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=-h \end{eqnarray}$ auf dem Rande verschwinden soll. Andererseits verschwindet deine Fourrierreihe für h auf dem Rand. Dieser Widerspruch hat seine Ursache in der Fourrierschen Methode (hier in der Entwicklung nach Sinusfunktionen), denn Fourrierreihen konvergieren im Allgemeinen nicht gleichmäßig, sondern nur punktweise. Entwickelt man z.B. einen konstanten Rechteckimpuls y=c in den Grenzen [0;1] nach Sinusfunktionen, so konvergiert die Reihe ebenfalls nur "zwischen" den Intervallgrenzen [0;1] gegen c, nicht aber an den Grenzen selbst (Stichwort: Gibbsches Phänomen). Das ist ein gewisser Nachteil der Fourrierschen Methode, dass es am Rand oder an Unstetigkeitsstellen Probleme geben kann.
20.12.2011, 14:30	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
es scheint so, als würde $\begin{eqnarray} \Delta u=0 \quad in\,\partial\Omega \end{eqnarray}$ gelten, wenn eben $\begin{eqnarray} u=0 \quad in\,\partial\Omega \end{eqnarray}$ WENN ich u als Fourierreihe darstelle ich habs nur eben mal für ein Beispiel ausprobiert bei Sprungstellen gibts Probleme, warum beim Rand? h selbst muss am Rand nicht 0 sein. Aber durch das gestellte Problem wähle ich die Fourierreihe am Rand 0, weils eben wegen $\begin{eqnarray} \Delta u=0 \quad in\,\partial\Omega \end{eqnarray}$ nicht anders geht. Das wär jetzt eine salopp Erklärung
20.12.2011, 14:50	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
dass es am Rand Probleme gibt, meinst du wahrscheinlich bezogen auf dieses Beispiel hier, da i.A. $\begin{eqnarray} \Delta u \neq h \,\partial\Omega \end{eqnarray}$
20.12.2011, 15:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tatsache, dass am Rand gilt $\begin{eqnarray} \Delta u=0 \end{eqnarray}$ und nicht wie gefordert $\begin{eqnarray} \Delta u=-h\neq 0 \end{eqnarray}$ ist lediglich eine Folge der verwendete Fourrierschen Methode, denn Fourrierreihen konvergieren nicht immer gleichmäßig, sondern nur punktweise. Würde man dasselbe Problem mit der Methode der Greenschen Funktion lösen, hätte man auch auf dem Rand die "richtige" Lösung mit $\begin{eqnarray} \Delta u=-h\neq 0 \end{eqnarray}$ . Im Inneren des Gebietes wären beide Lösungen natürlich identisch. Die Abweichung bei der Fourrierschen Lösung am Rand offenbart einen gewissen Mangel dieser Methode bei Unstetigkeitststellen. Es ist also ein rein methodisches Problem, das bei Reihen nunmal auftaucht.
20.12.2011, 17:17	Stevö	Auf diesen Beitrag antworten »
jo, jetzt glaub ichs auch lg
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