Bestimmen Sie alle z Element C...

19.12.2011, 21:41

TheAmsel

Bestimmen Sie alle z Element C...

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe hier:
Bestimmen Sie alle z Element C (komplexe Zahlen also), für die gilt:
z² = (1+i)/(1-i)

Meine Ideen:

Ich habe 'ne Weile rumprobiert und zum Beispiel erst z*z für z = a + ib ausgerechnet und dann mit (1-i) multipliziert, bin dann aber (wie schon einmal davor) in einer Sackgasse gelandet:
(a²+2ab-b²)+i(-a²+2ab+b²)

Hatte erst an binomische Formeln gedacht, aber da sind die Minuszeichen ja am falschen Platz :\

Kann mir jemand helfen?

19.12.2011, 21:42

lgrizu

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RE: Bestimmen Sie alle z Element C...
Zunächst bringe die Zahl $\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} \end{eqnarray*}$ in die Form a+bi.

19.12.2011, 22:37

Leviathanz0r

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...manchmal sind es die simpelsten Dinge an denen man scheitert...
(Namensänderung weil ich mich gerade eben registriert habe)

Habe es jetzt durch Erweiterung mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweitert und bin auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{1-i} = i \end{eqnarray*}$
gekommen.

Rechne ich dann mit
$\begin{eqnarray*} z^{2} = i \end{eqnarray*}$
kommen ich darauf, dass
$\begin{eqnarray*} a, b \in \begin{Bmatrix} \sqrt(\frac{1}{2}), -\sqrt(\frac{1}{2}) \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$
sein müssen.

Wäre das korrekt?

19.12.2011, 22:56

original

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Zitat:

Original von Leviathanz0r

Rechne ich dann mit
$\begin{eqnarray*} z^{2} = i \end{eqnarray*}$
kommen ich darauf, dass
$\begin{eqnarray*} a, b \in \begin{Bmatrix} \sqrt(\frac{1}{2}), -\sqrt(\frac{1}{2}) \end{Bmatrix} \end{eqnarray*}$
sein müssen.

Wäre das korrekt?

hm..

sollen das dann etwa vier Möglichkeiten sein, das Paar (a,b) auszuwählen verwirrt

19.12.2011, 22:56

Tremonia

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Es kommt raus für die beiden Lösungen: $\begin{eqnarray*} z_{1} =\frac{1}{\sqrt{2} } +i*\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2} =\frac{-1}{\sqrt{2} } +i*\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

19.12.2011, 23:01

original

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$\begin{eqnarray*} z^{2} = i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tremonia
Es kommt raus für die beiden Lösungen: $\begin{eqnarray*} z_{1} =\frac{1}{\sqrt{2} } +i*\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2} =\frac{-1}{\sqrt{2} } +i*\frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

.. bist du sicher?

19.12.2011, 23:09

Tremonia

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Zitat:

Original von original
$\begin{eqnarray*} z^{2} = i \end{eqnarray*}$

Zitat:

.. bist du sicher?

jo müsste so stimmen in Polarform $\begin{eqnarray*} z_{1} =1*e^{i\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2} =1*e^{i3\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$

19.12.2011, 23:14

Leviathanz0r

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Laut WolframAlpha stimmen meine Ergebnisse (zu Teilen, hab ein Detail übersehen, a und b müssen gleich sein):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...F2%29i%29%C2%B2

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...F2%29i%29%C2%B2

@Tremonia: Bei dir kommt was anderes raus o.o
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...F2%29i%29%C2%B2

Korrektur:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...82%29i%29%C2%B2

19.12.2011, 23:18

Tremonia

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mh 1/sqrt(2) nicht sqrt(1/2) Matlab hat dasselbe raus wie ich

19.12.2011, 23:21

Tremonia

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ok der 2. ist wohl falsch muss beides Minus sorry

19.12.2011, 23:21

Leviathanz0r

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Die simplen Dinge... ^^ Entschuldige...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqr...1%2Fsqrt%282%29
Damit wäre der Unterschied auch geklärt.

19.12.2011, 23:26

Tremonia

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Das ist trotzdem falsch eingegeben: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...F2%29i%29%C2%B2

19.12.2011, 23:33

Leviathanz0r

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28...82%29i%29%C2%B2
Da hast du's eben nochmal richtig (kann den früheren Beitrag leider nicht mehr bearbeiten).

Damit liegen wir beide richtig, da
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

19.12.2011, 23:34

original

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$\begin{eqnarray*} z^{2} = i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Tremonia

jo müsste so stimmen in Polarform $\begin{eqnarray*} z_{1} =1*e^{i\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_{2} =1*e^{i3\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$

... echt?

nun, mit deinem $\begin{eqnarray*} z_{2} =1*e^{i3\frac{\pi }{4} } \end{eqnarray*}$

bekommst du (Probe : )

$\begin{eqnarray*} (z_{2})^2 =\left(1*e^{i3\frac{\pi }{4}}\right)^2 = e^{2\cdot 3\pi /4} = e^{3\pi /2} = - i \end{eqnarray*}$
verwirrt

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