Kovarianz der Normalverteilung

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MatheBenni Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz der Normalverteilung
Hallo,
Ich habe eine Frage zur Kovarianz der Normalverteilung:

Ich habe gegeben die Zufallsvariablen

und

wobei und

Ausserdem habe ich gegeben, dass das Skalarprodukt der beiden = 0 sein soll, und dass die beiden anscheinend die Kovarianz von sein sollen.... Die Frage ist nur, warum sind die beiden die Kovarianz?

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen

MfG
MatheBenni
MatheBenni Auf diesen Beitrag antworten »

Der Zusammenhang ist übrigens der folgende Beweis mit Interpretation unsererseits:

Gegeben:
Behauptung:

Der zweidimensionale Zufallsvektor sei normalverteilt. SInd die Zufallsvariablen unkorreliert, dann sind sie sogar unabhängig.

Beweis:

und

wobei und

mit unabhängigen N(0,1)-verteilten Zufallsvariablen . Da unkorreliert sind folgt



Die Vektoren

sind also orthogonal. DIes gilt auch für die normierten Vektoren



Also folgt, dass

unabhängig sind. Daraus folgt wegen


die Behauptung.


Unsere Interpretation:

Wir glauben, dass nach dem ersten Schritt aus irgendeinem Grund die Kovarianz ist, die wegen der unkorreliertheit 0 sein muss. Dass die Vektoren orthoonal sind, liegt daran (unserer Meinung nach) dass das Skalarprodukt ist, und wenn dieses Null ist stehen die Vektoren orthogonal aufeinander. Die Normierung ist klar, wenn man einen Vektor durch seinen Betrag teilt, kommt derselbe Vektor mit Länge 1 heraus. Dann folgt wegen der nächste Schritt woraus auch logischerweise die Unabhängigkeit folgt. Dann kommt nur noch derletzte schritt, und da folgt unserer Meinung nach die Unabhängigkeit, da Konstanten sind.

Wir wären dankbar für Kritik Anregungen Verbesserungsvorschläge oder Zustimmungen jeder Art...

MfG die beiden MatheBennis
dinzeoo Auf diesen Beitrag antworten »

habs jetzt nur schnell überflogen. eure interpretation hört sich ganz gut an. ich würde so vorgehen:
zuerst mal die defintion und eigenschaften von der kovarianz anschaun, dann sollte man eigentlich sehen das b1*b2=0 gilt.
vll noch erwähnenswert, aus unabhängig folgt unkorreliert wobei euch das wahrscheinlich schon klar war....
flimmbing2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der zweidimensionale Zufallsvektor sei normalverteilt. SInd die Zufallsvariablen unkorreliert, dann sind sie sogar unabhängig.


Das bezweifle ich, Unabhängigkeit ist eine sehr viel striktere Annahme und Zufallsvariablen die unkorreliert sind können sehr wohl abhängig sein. Dies ist u.a. ein zentrales Konstrukt bei stochastischen Prozessen und stellt den maßgeblichen Unterschied zwischen einem White-Noise Prozess I und II dar.
samim Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von flimmbing2
Zitat:
Der zweidimensionale Zufallsvektor sei normalverteilt. SInd die Zufallsvariablen unkorreliert, dann sind sie sogar unabhängig.


Das bezweifle ich, Unabhängigkeit ist eine sehr viel striktere Annahme und Zufallsvariablen die unkorreliert sind können sehr wohl abhängig sein. Dies ist u.a. ein zentrales Konstrukt bei stochastischen Prozessen und stellt den maßgeblichen Unterschied zwischen einem White-Noise Prozess I und II dar.


Deswegen ja auch die Annahme, dass es sich um die Normalverteilung handelt. In diesem Fall ist stoch. Unabhängigkeit und Unkorreliertheit äquivalent.
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