Basis für Fibonaccifolge/zahlen

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
Basis für Fibonaccifolge/zahlen
wie haben den und folgende Menge:



Ich soll zu erst mal zeigen das es ein untervektorraum ist, das ist kein problem. Nun soll ich aber eine basis angeben, es is klar das es ne unendlichdimensionierte Basis ist. Ich bin eigentlich zu dem schluss gekommen das eine Basis wie folgt aussehen könnte

(1,0,0,0,0...)
(0,1,0,0,0...)
(0,0,1,0,0...)
(...)

Jedes Element auf fib ließe sich dann durch diese Basis darstellen richtig?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Damit das eine Basis des Untervektorraumes ist, müssen die Basiselemente erstmal selbst in dem Untervektorraum liegen. Das tun sie schonmal nicht, hm?

Ich behaupte, der Untervektorraum ist zweidimensional. Das kannst du sehen, wenn du dir überlegst, welche Komponenten du brauchst, um ein Element dieses Unterraumes eindeutig zu bestimmten.
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm nach definition ist die Basis die maximale Anzahl linear unabhängiger vektoren. Du sagt der Raum ist zweidimensional, man muss also 2 Elemente fnden für die




gilt


Eigentlich sind doch die ersten beiden Elemente der fibonacci folge linear unabhängig, da sie sich nicht erechnen lassen. Wenn ich als Basis also die Elemente 0 und 1 angebe dann

x*0 + y*1 = 0

<=>

y = 0

Daraus folgt also die lineare unabhängigkeit, das dumme is nur... das sind Einzelne Zahlen, ich brauch doch eine folge als basis oder?
Benutzer Auf diesen Beitrag antworten »
nicht berechenbar?
Guguck,

weil ich schon woanders in einen Fibonaccithread hineingeraten bin:

Zitat:
Original von Mazze

Eigentlich sind doch die ersten beiden Elemente der fibonacci folge linear unabhängig, da sie sich nicht erechnen lassen.


Schreibe doch einfach mal diesen Gedanken etwas genauer auf. Ich glaube, Du wirst erkennen, daß das nicht geht, und allein das wird bereits ein erheblicher Schritt in gewünschter Richtung sein smile .

Mfg,
Benutzer noch namenlos
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Schreibe doch einfach mal diesen Gedanken etwas genauer auf. Ich glaube, Du wirst erkennen, daß das nicht geht


Also, die ersten beiden Elemente der folge sind genau dann linear unabhängig wenn eines der beiden elemente das Nullelement bezüglich addition/multiplikation des Körpers ist. Andernfalls sind sie sehrwohl, bezüglich R linear abhängig.

Einigen wir uns darauf das die Basis eine folge sein muss und das sie zweidimensional ist.

Wir suchen Folgen die folgender beziehung genügen



es muss also insbesondere gelten



da alle reelle zahlen sind gilt die gleichung nur wenn zumindest in einem Folgeglied eine 0 steht. Sobald ein folgeglied null ist, und das zugehörige Folgeglied der b-folge ungleich null ist die gesammte folge nur genau dann null wenn die faktoren null sind...

das ist es... (hoff ich)

Die basisfolgen wären also diejenigen mit den startwerten (0,1) und (1,0).



Da für die ersten beiden glieder
x*1 + 0*y = 0 => x = 0
und für die zweiten beider glieder
x*0 + 1*y = 0 => y = 0

gilt.

@ irrlicht

Wie bist du eigentlich darauf gekommen das die basis 2-Dimensional ist? Ich kann das irgendwie schwer nachvollziehen, hm...
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Genau mir dieser Überlegung. Du hast 2 Startwerte, die du frei wählen kannst. Alle anderen Komponenten sind festgelegt. Augenzwinkern

Du hast nun geschrieben, dass die beiden Elemente linear unabhängig sind. Erzeugen sie auch den Unterraum? Das musst du natürlich auch noch nachweisen.
(Um dir zu überlegen, dass es keinen dritten Basisvektor gibt, schau dir mal an, ob es in diesem Unterraum eine Folge gibt, die mit 0,0,1 beginnt. Das allein ist natürlich noch kein Nachweis, aber es bringt dich vielleicht auf eine richtige Idee.)
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nehmen wir an es gäbe einen dritten basis vektor der linear unabhängig zu (1,0) und (0,1) ist. Dann müsste ja gelten

x*(1,0) + y*(0,1) = -z*(a,b) <=> x,y,z = 0

ich wähle z= (-1), x = a und y = b



<=>




Das ist ein widerspruch zur ausgangsaussage, daraus folgt insbesondere das es keinen dritten linear unabhängigen Vektor gibt, richtig?

Jetzt hab ich wohl gezeigt das es keinen dritten linear unabhängigen vektor gibt, bin aber immer noch nicht auf die Idee gekommen zu sehen warum der zweidimensional ist, zeigen kann ichs ja offenbar
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Nehmen wir an es gäbe einen dritten basis vektor der linear unabhängig zu (1,0) und (0,1) ist.

Wozu? Dein Raum ist nicht der R^2, sondern der Raum der Fibonacci-Folgen. Deine zwei bisher gefundenen Basisvektoren sind daher nicht (1,0) und (0,1), sondern die Folgen mit den Startwerten (1,0) und (0,1), also
(1,0,1,1,2,3,5,8,...) und
(0,1,1,2,3,5,8,13,...).

Du müsstest also annehmen, es gäbe eine dritte Folge der Bauart
(a0, a1, a0+a1, a1+(a0+a1), ...),
die linear unabhängig zu den ersten beiden ist.

Zitat:
Dann müsste ja gelten

x*(1,0) + y*(0,1) = -z*(a,b) <=> x,y,z = 0

Ja, das wäre äquivalent dazu, dass (a,b) linear unabhängig von (1,0) und (0,1) ist.

Zitat:
ich wähle z= (-1), x = a und y = b

Und hast damit eine Lösung der linken Gleichung, die aber nicht nur aus Nullen besteht (also eine nichttriviale Lösung).

Zitat:

Du formulierst hier, dass du für jede Wahl von (a,b) eine nichttriviale Lösung findest. Das ist eigentlich unnötig, da du ja (a,b) beliebig gewählt hast.

Zitat:
<=>
=>

???

Zitat:

Siehst du es erst nach dieser Umformulierung?

Zitat:
Das ist ein widerspruch zur ausgangsaussage, daraus folgt insbesondere das es keinen dritten linear unabhängigen Vektor gibt, richtig?

Ja, das ist es.

Zitat:
Jetzt hab ich wohl gezeigt das es keinen dritten linear unabhängigen vektor gibt, bin aber immer noch nicht auf die Idee gekommen zu sehen warum der zweidimensional ist, zeigen kann ichs ja offenbar

Tja, wie du sicher weisst ist der R^2 zweidimensional - und wenn du's nicht wusstest, hast du's gerade nachgewiesen.

Aber wie gesagt: Unser Raum ist nicht der R^2.
Wenn du dir jetzt anschaust, wie diese potenzielle dritte Folge aussieht, dann siehst du vielleicht, warum Irrlicht sofort gesehen hat, dass unser Raum zweidimensional ist.

Gruss,
SirJective
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Tja, wie du sicher weisst ist der R^2 zweidimensional - und wenn du's nicht wusstest, hast du's gerade nachgewiesen.


Big Laugh

Hm, die Startwerte der beiden linear unabhägigen Folgen erinnern mich auch an die Basisvektoren des R². Die Folge ist nun abhängig von genau 2 Werten. wenn ich also eine Darstellung finde mit x Vektoren mit denen ich alle möglichen "Kombinationen" der Startwerte abdecken kann, dann hab ich die Basis gefunden. Nunja, betrachtet man dieses Tupel der startwerte fällt auf das es sich um 2 handelt. Ich kann die erste Komponente über einen Term unabhängig von der zweiten Komponente nur bestimmen wenn diese null ist. Daraus muss ich dann ableiten das ich zwei Komponenten brauche und eine zweidimensionale Basis folgt. Hätten wir einen Raum von Folgen wo das nachfolgeglied beispiels weise so deifniert wäre



Der Vektorraum wäre dann ja eindimensional, da ich jede folge abhängig vom Startwert bekomme. Basis wäre (1,2,3,4...) denk ich.
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