Funktionalableitung

20.12.2011, 13:12

toasten

Funktionalableitung

Hallo,

ich sitze gerade an einem etwas komplexeren Problem, bei dem ich die Ableitung eines Funktionals benötige.

Sei $\begin{eqnarray*} N(z,p) := a(z,z) - l(z) - (p,\Lambda z)_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte hiervon die (verallgemeinerte) Ableitung bilden. Dazu sei
$\begin{eqnarray*} \nabla^T N(z,p) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial N}{\partial z}(z,p) \\ \frac{\partial N}{\partial p}(z,p) \end{array}\right) =: \left( \begin{array}{c}N_{z} \\ N_{p} \end{array}\right) \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz für $\begin{eqnarray*} N_{z} \end{eqnarray*}$ : Es gilt für die Ableitung
$\begin{eqnarray*} \forall w \in W: \qquad \left\langle N_{z},w \right\rangle = 2 a(z,w)-l(w) - (p, \Lambda w)_0 \end{eqnarray*}$

***EDIT: a(z,w) zu 2a(z,w) geändert.***

Wie sieht nun $\begin{eqnarray*} N_{z} \end{eqnarray*}$ "wirklich" aus?

Vielen Dank!
Torsten

PS: Um den Gesamtüberblick zu wahren habe ich Erklärungen und Definitionen zu den Funktionsräumen und Funktionalen/Bilinearformen weggelassen. Ich hoffe, jemand kann mir auch so helfen. Ansonsten werde ich das noch nachtragen!?

20.12.2011, 16:37

gonnabphd

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Zitat:

Wie sieht nun $\begin{eqnarray*} N_{z} \end{eqnarray*}$ "wirklich" aus?

Ich denke, besser als die Darstellung die du schon hast, wird es nicht werden.

Vielleicht würde es ein wenig konkreter, wenn du eine Basis wählen würdest - aber das bringt meistens nicht allzu viel, da die basisunabhängige Darstellung zumeist die schönste ist.

Auf alle Fälle kann man mit der von dir gefundenen Darstellung alles berechnen, was man normalerweise so berechnen will.

p.s. fehlt da nicht noch ein Faktor 2 vor dem a(z,w) o.ä.?

20.12.2011, 18:03

toasten

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Hi,

danke, du hast recht. Ich habe oben den Faktor 2 vor der Bilinearform vergessen.

Mein Ziel ist es eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} (z^*,p^*) \end{eqnarray*}$ von N zu finden mittels Newton-Verfahren, d.h., ich muss folgendes System lösen:

$\begin{eqnarray*} \nabla^TN(z_k,p_k) \left( \begin{array}{c} \delta_z \\ \delta_p \end{array} \right) = -N(z_k,p_k) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left( N_{z_k} , N_{p_k} \right) \left( \begin{array}{c} \delta_z \\ \delta_p \end{array} \right) = -N(z_k,p_k) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \delta_z := z_{k+1}-z_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_p \end{eqnarray*}$ analog.

Aber wie nutze ich hier jetzt $\begin{eqnarray*} N_{z_k} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank im Voraus :-)

Grüße,
Toasten

20.12.2011, 18:44

gonnabphd

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Achso, du willst also konkret etwas ausrechnen? Dann musst du ja auch deine Funktionale konkret gegeben haben (also deren Darstellung bzgl. einer Basis - zumeist der kanonischen)?
Allerdings sehe ich nicht, wie du hier das Newton-Verfahren anwenden kannst: dafür müsstest du doch eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ haben?

Das Problem ist hier, dass der Kern von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ mindestens die Dimension n+m-1 hat, wenn $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb R^n, \; p \in \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ sind. Damit gibt es notwendigerweise unendlich viele Nullstellen.
Eine triviale Familie von Nullstellen ist z.B. $\begin{eqnarray*} \{(z,p) \in \mathbb R^n\times \mathbb R^m \;|\; z = 0\} \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

21.12.2011, 10:37

toasten

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Hallo,

Zitat:

Original von gonnabphd
Achso, du willst also konkret etwas ausrechnen? Dann musst du ja auch deine Funktionale konkret gegeben haben (also deren Darstellung bzgl. einer Basis - zumeist der kanonischen)?

Hast du hierzu einen Literatur-Tipp, wie man das allgemein macht? Am liebsten auch einen mit vielen Beispielen ;-)
Darstellung bezüglich einer Basis habe ich zwar schon mal gehört, aber wirklich Erfahrung im Umgang damit habe ich nicht :-(

Zitat:

Original von gonnabphd
Allerdings sehe ich nicht, wie du hier das Newton-Verfahren anwenden kannst: dafür müsstest du doch eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ haben?

Da bin ich mir gerade gar nicht so sicher...
Ich habe mal in einem Artikel eine Funktion $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^{2m} \rightarrow \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ gesehen worauf das Newton-Verfahren angewandt wurde. Ich denke, solange das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \nabla^T N(z,p) \cdot (\delta_z , \delta_p)^T = -N(z,p) \end{eqnarray*}$
von den Dimensionen her stimmt, sollte der Newton-Schritt machbar sein. Oder?

Danke.

Viele Grüße,
Toasten

21.12.2011, 13:59

gonnabphd

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Ich glaube, es wäre an der Zeit, einmal alle Fakten auf den Tisch zu legen.
Also: Was willst du genau tun (was ist die Aufgabe/Problemstellung)? Wie sind dir die Funktionale gegeben?

21.12.2011, 14:32

toasten

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Ok, als Räume habe ich

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} W & := & H^1_D(\Omega) \times Q \\ H^1_D(\Omega) & := & \left\{ v \in H^1(\Omega,\mathbb{R}^k) \mid \gamma_{\mid \Gamma_D}(v_i) = 0, i=1,\ldots ,k \right\} \\ Q & := & \left\{ q \in L^2(\Omega,\mathbb{R}_{\operatorname{sym}}^{k \times k}) \mid tr(q)=0 \text{ a.e. in } \Omega \right\}\\ \Omega & \subset & \mathbb{R}^k, \quad k=2,3 \end{array} \end{eqnarray*}$

und meine Funktionale sehen für $\begin{eqnarray*} z,w \in W:=H^1_D(\Omega)\times Q \end{eqnarray*}$ wie folgt aus

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} a(z,w) = a( (u,q) , (v,r) ) & := & \left( \sigma(u,q) , \epsilon(v)-r \right)_0 + \left( \mathbb{H}q,r \right)_0, \\ l(z) = l(u,q) & := & (f,u)_0 + (g,\gamma_{\mid \Gamma_N}(u))_{0,\Gamma_N}. \end{array} \end{eqnarray*}$

Dabei ist
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} \sigma(u,q) & := & \mathbb{C}(\epsilon(u)-q)\\ \epsilon(u) & := & \frac{1}{2} (\nabla u + \nabla^Tu) \end{array} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} f & \in & L^2(\Omega,\mathbb{R}^k) \\ g & \in & L^2(\Gamma_N,\mathbb{R}^k). \end{array} \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich also für $\begin{eqnarray*} z=(u,q)\in W \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{rcl} N(z,p) &=& a(z,z) - l(z) - (p,\Lambda z)_0 &=& \left( \sigma(z) , \epsilon(u)-q \right)_0 + \left( \mathbb{H}q,q\right)_0-(f,u)_0 - (g,\gamma_{\mid \Gamma_N}(u))_{0,\Gamma_N} - (p,\Lambda z)_0 &=& \left( \sigma(z) , \epsilon(u)-q \right)_0 + \left( \mathbb{H}q,q\right)_0-(f,u)_0 - (g,\gamma_{\mid \Gamma_N}(u))_{0,\Gamma_N} - (p,q)_0 \end{array} \end{eqnarray*}$
wovon ich eine Nullstelle finden möchte.

Ich hoffe, du siehst noch einigermaßen durch.

21.12.2011, 15:29

gonnabphd

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Ich sehe, weshalb du uns das vorenthalten hast. Big Laugh

Das mit der Darstellung bzgl. einer Basis erübrigt sich dadurch, würde ich sagen (da du das Newtonverfahren erwähnt hast, dachte ich, es ginge hier um ein endlich-dimensionales Problem - ich kenne das jedenfalls nur in diesem Fall).

Eine Frage stellt sich mir jetzt: Willst du einfach irgendeine Nullstelle oder soll diese noch irgendwas anderes erfüllen?
Wenn N(z,p) eine Summe aus (bi-)linearen Funktionen ist, dann ist doch immer N(0,0) = 0. Ebenso scheint mir N(0,p) = 0 zu sein für beliebiges p? Oder liege ich damit falsch?

29.12.2011, 17:35

toasten

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Hi,

ich hoffe du (und alle anderen hier natürlich auch) hast erholsame Weihnachtstage gehabt.

Zitat:

Eine Frage stellt sich mir jetzt: Willst du einfach irgendeine Nullstelle oder soll diese noch irgendwas anderes erfüllen?

Ja, es gibt noch eine zweite Gleichung, die erfüllt werden muss. Allerdings habe ich diese noch nicht ausformuliert...
Ich hatte halt nur schon mal gehofft, ein erstes Gleichungssystem fertig stehen zu haben

Zitat:

...N(0,0) = 0. Ebenso scheint mir N(0,p) = 0 zu sein für beliebiges p?

Ja, das würde ich so auch sagen. Aber ich kann mir nicht vorstellen, dass die Lösung am Ende so "einfach" ist. Mal schauen, was meine zweite Gleichung / Bedingung ergibt.

Einen guten Rutsch ins Neue Jahr.
Toasten

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