Topologie in IR - IR und leere M. als einzige off. und abg. Mengen

20.12.2011, 14:17

KnowingLizard

Topologie in IR - IR und leere M. als einzige off. und abg. Mengen

Also,
wie einem ja gleich zu Beginn der Behandlung der Topologie eingetrichtert wird, sind sowohl IR als auch die leere Menge gleichzeitig offen und abgeschlossen, was auch Sinn macht.

Nur, wie beweise ich, dass diese beiden Mengen die einzigen Teilmengen von IR sind, die sowohl offen, als auch abgeschlossen sind?

Meine Idee sieht wie folgt aus:
Sei $\begin{eqnarray*} D \not = \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D \not = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt logischerweise: Weder $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} D^C \end{eqnarray*}$ (das Komplement von D, hier IR \ D) sind leer. Daraus folgt (und genau bei diesem Übergang hapert's bei mir argumentativ ein wenig), dass
$\begin{eqnarray*} \exists x \in D \forall \epsilon > 0: (U_\epsilon (x) \cap D \not = \emptyset \wedge U_\epsilon (x) \cap D^C \not = \emptyset ) \end{eqnarray*}$ .
D.h. der Rand $\begin{eqnarray*} \partial D \end{eqnarray*}$ ist nicht leer. Damit kann D nicht offen und abgeschlossen sein, denn dann wäre $\begin{eqnarray*} D=\overline {D}=\mathring D \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \partial D = \overline {D} \setminus \mathring D = \emptyset \end{eqnarray*}$ .

Macht das irgendeinen Sinn? Wenn ja, wie kann man die von mir angesprochene Stelle präzisieren, oder ist das alles klar?

Wenn alles passt, hätte ich noch die Frage, ob das ganze auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ , also insbesondere in IR² und IR³ gilt?

20.12.2011, 14:58

tmo

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Generell ist das richtig, man könnte das so präzisieren:

Du nimmst dir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ . Wenn das schon ein Randpunkt ist, sind wir fertig, andernfalls ist die Menge $\begin{eqnarray*} M := \{h > 0 | U_h(x) \subset D \} \end{eqnarray*}$ nichtleer. Da $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, ist M auch beschränkt, es sei $\begin{eqnarray*} \sup M =: d \end{eqnarray*}$ .

Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} x+d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x-d \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist.

Diesen Beweis kann man natürlich ohne weiteres auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ fortsetzen, wobei man da oft etwas abstrakter an die Sache rangehen kann:

Wenn man erstmal den Zusammenhang von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gezeigt hat (Das ist ja gerade das, was wir aus topologischer Sicht hier tun), kriegt man auch sofort den Zusammenhang von abgeschlossenen Intervallen. Daraus folgt die Implikation:
Wegzusammenhang ---> Zusammenhang.

Und der Wegzusammenhang des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist trivial.

20.12.2011, 15:36

KnowingLizard

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Okay, vielen vielen Dank schonmal Freude

Ich habe nur noch ein, zwei kleinere Fragen:

Zitat:

Original von tmo
Da $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, ist M auch beschränkt, es sei $\begin{eqnarray*} \sup M =: d \end{eqnarray*}$ .

Warum ist es wichtig, dass $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$ , damit M beschränkt ist? Das verstehe ich noch nicht so ganz. Liegt das daran, dass $\begin{eqnarray*} D \neq \mathbb R \end{eqnarray*}$ letztlich bedeutet, dass irgendwo ein Rand existieren muss, bzw. irgendwo eine Teilmenge von IR existiert, die nicht in D liegt, weshalb das Supremum von M (d.h. eine Art obere Schranke für den Radius der h-Umgebung um x) existiert?

Zitat:

Zeige nun, dass $\begin{eqnarray*} x+d \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x-d \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist.

Das ergibt sich doch mit obigem bereits automatisch, oder nicht? Weil dann ist für x+d oder x-d die Definition eines Randpunkts erfüllt, weil andernfalls d nicht das Supremum wäre, oder? D.h. jede Umgebung um x+d oder x-d enthält dann eben Elemente aus D als auch aus dem Komplement von D. Das war ja gerade das, dass für D ungleich IR D und das Komplement nicht leer sind, oder?

20.12.2011, 16:35

tmo

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Wenn $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre, so wäre doch $\begin{eqnarray*} U_h(x) \subset D \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} h > 0 \end{eqnarray*}$ und dann wöre M klarerweise nicht beschränkt.

Ja generell stimmt das schon, dass das dann "automatisch" folgt.

Aber man sollte bei sowas immer aufpassen, spätestens wenn man den Beweis auf den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ verallgemeinern will, ist das gar nicht mehr so automatisch wie man denkt.

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