Teilmenge von R nicht gleichzeitig abgeschlossen und offen

20.12.2011, 16:15	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmenge von R nicht gleichzeitig abgeschlossen und offen Meine Frage: Hey Leute ich soll zeigen, dass die einzigen Teilmengen von R die abgeschlossen und offen zugleich sind, R selber ist und die leere Menge: Ich dachte da an einen Widerspruchsbeweis... Meine Ideen: Also ich nehme an, dass es eine Teilmenge $\begin{eqnarray} A \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ gibt, die sowohl abgeschlossen als auch offen ist. Dann gilt für A nach Definitionen: Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ so dass die Epsilonumgebung $\begin{eqnarray} B_{\epsilon} (x) \subset \mathbb R \end{eqnarray}$ ; dann ist A also offen. Das Komplement $\begin{eqnarray} \mathbb R / A \end{eqnarray}$ (ohne A) ist offen, dann ist A abgeschlossen. So ich muss jetzt also irgendwie drauf kommen, dass nicht beides gleichzeitig geht! Aber wie?
20.12.2011, 16:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dasselbe Problem gibt es heute (!) schon.

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