Terme vereinfachen in Erweiterungskörper

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
Terme vereinfachen in Erweiterungskörper
Sei a eine Nullstelle von f=X^2+X+1 in K[x]. Berechnen Sie in K[a]:

1.) (3a^2+2)/(a+4)
2. (3a^2+1)/(a+3)

Angeblichen haben andere meinen Prof. gefragt, was mit "berechne" gemeint ist und er meinte dass es heisst, wir sollen den Ausdruck ohne Bruch darstellen.

Nehmen wir mal an, das wäre zu tun, wie soll ich da vorgehen? Ich habe bei 1.) eine NS von f berechnet und für a im Term eingesetzt, dann weitergerechnet bis ich nichts mehr vereinfachen konnte. Kann man das so machen?

Wie gehe ich bei 2.) vor?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Terme vereinfachen in Erweiterungskörper
Ich würde die Gleichung einmal durch a+4 und einmal durch a+3 teilen (mit Polynomdivision), um jeweils einen Ausdruck für die Inversen ohne Bruch zu erhalten, dann mit dem jeweiligen Zähler verrechnen und falls ein Polynom in a mit Grad >2 herauskommt das Ergebnis nochmal modulo nehmen (oder den Zähler zuerst durch ein Polynom in a vom Grad 1 ersetzen mit ).

Bei deinem Ansatz sehe ich zumindest die Schwierigkeit, dass man für beide (i.a. verschiedenen) Lösungen für a einzeln rechnen muss.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss leider zugeben, dass ich deinen Ansatz nicht verstehe

Wenn ich a^2+a+1 durch a+3 dividiere, was bringt mir das? Das ist ja, wie wenn ich 0/(a+3) rechne, da bekomm ich doch einfach 0 oder nicht?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal bekommst du 0, aber dies ist gleich dem Ausdruck, den du durch Polynomdivision erhältst. (Das wird dann ja p(a)+c/(a+4) sein mit p ein Polynom und c eine Zahl).
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