Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

20.12.2011, 17:11

Shizorano

Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich soll für die folgenden zwei Differentialgleichungen alle Lösungen bestimmen und jeweils das Anfangswertproblem y(0)=1 lösen:
1. y' = cos(x)y
2. y' = 2y + 3x

Meine Ideen:
Also:
1. ist doch eine lineare Dgl der Form y'+a(x)y+b(x)=0 mit a(x) = -cos(x) und b(x)=0.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{y'(x)}{y(x)} = cos(x) \Rightarrow \int_{x_{0}}^{x} \! \frac{y'(t)}{y(t)} \, dt = \int_{x_{0}}^{x} \! cos(t) \, dt \Rightarrow ln(y(x)) = sin(x) \Rightarrow y(x) = e^{sin(x)} \end{eqnarray*}$
Stimmt das soweit? Wüsste sonst leider auch net weiter?!

2. ist auch eine lineare Dgl der Form y'+a(x)y+b(x)=0 mit a(x) = -2 und b(x) = -3x
Nach dem Ansatz y'(x) = 2y(x) und dem Verfahren wie oben, komme ich auf $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{2x} \end{eqnarray*}$

Und da hänge ich auch schon!

Das mit dem Anfangswertproblem verstehe ich i-wie generell nicht! =( HILFE!
MFG
Shizorano

20.12.2011, 18:31

Mulder

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Bedenke, dass beim Integrieren eine Konstane hinzu kommt - und die passt du dann so an, dass das AWP erfüllt ist. Man kann das auch machen, indem man die Anfangswerte in die Integralgrenzen einbaut und bestimmt integriert - dafür gibt es fertige Formeln, die sollten in deinem Skript stehen. Aber sonst geht es auch "manuell", indem du eine Integrationskonstante hinzufügst. Du hattest

$\begin{eqnarray*} \ln(y) = \sin(x) \end{eqnarray*}$

nach dem Integrieren. Füge nun noch eine Konstante hinzu:

$\begin{eqnarray*} \ln(y) = \sin(x)+C \end{eqnarray*}$

Löse nun weiter nach y auf. Und dann ermittle das passende C, so dass dann y(0)=1 ist. Indem du das +C hinzufügst, kriegst du auch alle Lösungen deiner DGL. Wenn du sie weglässt, hast du nur eine spezielle Lösung, nämlich die für C=0.

Bei der zweiten geht es mit Variation der Konstanten weiter.

20.12.2011, 19:08

Shizorano

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von Mulder
$\begin{eqnarray*} \ln(y) = \sin(x)+C \end{eqnarray*}$

Löse nun weiter nach y auf.

Ich danke, dass da $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{sin(x)+C} \end{eqnarray*}$ herauskommt !?

Zitat:

Original von Mulder
Und dann ermittle das passende C, so dass dann y(0)=1 ist.

$\begin{eqnarray*} y(0) = 1 = e^{sin(0)+C} \Leftrightarrow sin(0)+C=0 \Leftrightarrow C =0 \end{eqnarray*}$ ,oder?

20.12.2011, 19:20

Mulder

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Wenn man hier angekommen ist:

$\begin{eqnarray*} y = e^{\sin(x)+C} = e^C \cdot e^{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

dann setzt man für gewöhnlich $\begin{eqnarray*} e^C = \tilde C \end{eqnarray*}$

führt also eine neue Konstante ein. Hat den Vorteil, dass man so auch die Lösungen mit negativer Konstante abdeckt. Sieht auch schöner aus. Man kann das so machen, dadurch bleibt es richtig. Und bei

$\begin{eqnarray*} y = \tilde C \cdot e^{\sin(x)} \end{eqnarray*}$

kannst du nun das AWP einsetzen.

Das führt natürlich auf genau die gleiche Lösung in diesem Fall, das ist nur Kosmetik. Aber wenn das AWP zum Beispiel y(0)=-1 gewesen wäre, wärst du mit deiner Variante nicht weiter gekommen, weil die e-Funktion an sich ja nie negativ wird. Nur mal so als Beispiel, warum das sinnvoll ist.

Deine Lösung ist aber richtig.

20.12.2011, 19:39

Shizorano

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von Mulder
Bei der zweiten geht es mit Variation der Konstanten weiter.

Setze also $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x)*e^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)-2y(x)-3x=0 \Leftrightarrow e^{2x}c'(x) - 3x = 0 \Leftrightarrow c'(x) = \frac{3x}{e^{2x}} \Leftrightarrow c(x) = - \frac{3(2x+1)}{4e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das dann so?

20.12.2011, 23:32

Shizorano

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Hilfe bitte! Ich hätte gerne antwort!

21.12.2011, 00:28

Shizorano

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Vergesst bitte die letzten beiden Posts!

Komme auf folgendes mit dem Ansatz, dass

$\begin{eqnarray*} y(x) = e^{2x+C} \Rightarrow y(0) = 1 = e^{2*0+C} \Leftrightarrow 0 = 2*0 + C \Leftrightarrow C = 0 \end{eqnarray*}$

Das dürfet viel eher richtig sein als das oben oder?

21.12.2011, 03:11

Mulder

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von Shizorano
Vergesst bitte die letzten beiden Posts!

Wieso? Ich vergesse lieber deinen letzten Post. Das AWP sollst du für die inhomogene DGL lösen, nicht für die homogene!

Zitat:

Original von Shizorano
Setze also $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x)*e^2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)-2y(x)-3x=0 \Leftrightarrow e^{2x}c'(x) - 3x = 0 \Leftrightarrow c'(x) = \frac{3x}{e^{2x}} \Leftrightarrow c(x) = - \frac{3(2x+1)}{4e^{2x}} \end{eqnarray*}$

Das ist doch schon sehr gut so. Genau so wird's gemacht. Du hast nur wieder die Integrationskonstante vergessen.

Löse dann nach y auf und die DGL ist gelöst. Die Konstante brauchst du aber noch. Dein gefundenes c(x) kannst du ja nun einsetzen.

Und noch was: Ab und an muss man auch mal ein bisschen auf eine Antwort warten. Um halb 12 nachts nach einer Antwort zu schreien ist etwas unhöflich. Du wirst schon nicht vergessen, aber die Leute, die dir hier helfen, haben ab und an auch was anderes zu tun, als auf deine Fragen zu warten.

21.12.2011, 08:24

Shizorano

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Setze also (inklusive Integrationskonstanten) $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x)*e^{2x + C} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y'(x)-2y(x)-3x=0 \Leftrightarrow e^{2x+C}c'(x) - 3x = 0 \Leftrightarrow c'(x) = \frac{3x}{e^{2x*C}} \Leftrightarrow c(x) = - \frac{3(x+0.5)}{2e^{2x+C}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber jetzt c(x) in y(x) einsetze, dann
$\begin{eqnarray*} y(x) = c(x)*e^{2x + C} = - \frac{3(x+0.5)e^{2x+C}}{2e^{2x+C}} = - \frac{3(x+0.5)}{2} \end{eqnarray*}$

Kann das richtig sein, wenn die Integrationskonstante wegfällt?

Eigentlich nicht, weil ja so gelten würde:
$\begin{eqnarray*} y(0) = -0,75 \neq 1 \end{eqnarray*}$

???

21.12.2011, 13:43

Mulder

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RE: Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme

Zitat:

Original von Shizorano
Setze also (inklusive Integrationskonstanten) $\begin{eqnarray*} y(x) = c(x)*e^{2x + C} \end{eqnarray*}$

Das +C im Exponenten der e-Funktion hat da doch nichts mehr zu suchen. Dieses +C, das zuvor die Konstante war, haben wir doch in ein c(x) umgewandelt.

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