Bernoullische Differentialgleichung

20.12.2011, 17:57

Shizorano

Bernoullische Differentialgleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich soll die Bernoullische Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} (1+x^{2})y' + xy - xy^{2} = 0 \end{eqnarray*}$ lösen!

Meine Ideen:
Durch y^2 zu teilen ergibt:
$\begin{eqnarray*} \frac{y'(x)}{y^{2}(x)} + \frac{x}{(1+x^{2})y(x)} - \frac{x}{1+x^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$
Dann substitui(e(?))re ich $\begin{eqnarray*} z(x) := \frac{-1}{y(x)} \end{eqnarray*}$
was dann (hoffentlich) folgendes ergibt:
$\begin{eqnarray*} z'(x) - \frac{xz(x)}{1+x^{2}} - \frac{x}{1+x^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$
Ich habe dann die homogene Gleichung gelöst:
$\begin{eqnarray*} z'(x) - \frac{xz(x)}{1+x^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{z'(x)}{z(x)} = \frac{x}{x^{2} +1} \Rightarrow ln(z(x)) = \frac{ln(x^{2}+1)}{2} \Rightarrow z(x) = \frac{cln(x^{2}+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Wobei ich bei den letzten Schritten sehr unsicher bin!

Danke schonmal für die Hilfe

MFG
Shizorano

20.12.2011, 18:26

Mulder

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Sieht im Prinzip okay aus. Aber so wie ich das sehe, fängst du da mit Variation der Konstanten an - warum? Du kannst hier

$\begin{eqnarray*} z'(x) - \frac{xz(x)}{1+x^{2}} - \frac{x}{1+x^{2}} = 0 \end{eqnarray*}$

auch die Variablen trennen. Es ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{x (z+1)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Ist dann doch viel einfacher. Die DGL ist insgesamt homogen.

20.12.2011, 18:59

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung

Zitat:

Original von Mulder
Die Variablen trennen. Es ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{x (z+1)}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Ist dann doch viel einfacher.

Okay... das ist einfacher?

Aber wenn ich dann
$\begin{eqnarray*} \frac{z'}{z+1} = \frac{x}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$
habe, wie mache ich dann weiter?
Bin grad echt überfragt!

20.12.2011, 19:15

Mulder

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Einfach drauf los integrieren.

20.12.2011, 19:24

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung

Zitat:

Original von Mulder
Einfach drauf los integrieren.

Ok! Rechts wäre das ja einfach $\begin{eqnarray*} \frac{ln(x^{2}+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Links bin ich überfragt, wenn da noch z' im Zähler sein soll, kann es ja nicht einfach nur z^2/2 + z sein, oder?

20.12.2011, 19:27

Mulder

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Es funktioniert doch genau so wie vorhin. Das $\begin{eqnarray*} z' \end{eqnarray*}$ ersetzt man für gewöhnlich durch den Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} \frac{\dd z}{\dx} \end{eqnarray*}$ und multipliziert mit $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ . Dann integrieren:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{z+1} \, \dd z = \int \frac{x}{1+x^2} \, \dd x \end{eqnarray*}$

20.12.2011, 19:44

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
d.h. ich bekomme $\begin{eqnarray*} ln(z+1) = \frac{ln(x^{2}+1)}{2} \end{eqnarray*}$ heraus?

20.12.2011, 19:52

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
$\begin{eqnarray*} ln(z+1) = \frac{ln(x^{2}+1)}{2} \Leftrightarrow z = \sqrt{x^{2}+1}-1? \end{eqnarray*}$

Ich weis ich habe einiges jetzt übersprungen! auf Wunsch auch gerne auseinanderwurschtelbar =P

20.12.2011, 23:48

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Könnte auch mir jemand bitte einen (abschluss-)satz gönnen?

21.12.2011, 03:13

Mulder

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Deine Zwischenschritte würde ich gerne sehen.

Wo ist übrigens die Integrationskonstante schon wieder?

21.12.2011, 08:06

Shizorano

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Also, ich habe folgende Zwischenschritte gemacht.
$\begin{eqnarray*} ln(z+1) = \frac{1}{2} ln(x^{2} +1) \Leftrightarrow z+1 = e^{ \frac{1}{2} ln(x^{2} +1) } = (e^{ln(x^{2} +1})^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{e^{ ln(x^{2} +1) } } = \sqrt{x^{2} +1} \Leftrightarrow z = \sqrt{x^{2} +1} - 1 \end{eqnarray*}$

Mit Integrationskonstante müsste es ja dann so aussehen:
$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{x^{2} + 1 + C} - 1 \end{eqnarray*}$
oder?

21.12.2011, 13:46

Mulder

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RE: Bernoullische Differentialgleichung
Die Integrationskonstante wird genau dann hinzugefügt, wenn du integrierst. Du darfst nicht nach dem Integrieren erst umformen und die Konstante dann irgendwo hinpacken.

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