Isomorphismus

20.12.2011, 20:11

quarry

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Isomorphismus

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$
K..Körper
W..Teilraum in K^3
$\begin{eqnarray*} W := \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in K^3| 7x-y+8z=0 \end{eqnarray*}$
Konstruiere lineare Isomorphismus K^2 =(welle oben) W

Meine Ideen:
Ich wäre froh über die Angabe eines Lösungsweges, da ich schon seit Tagen mit der AUfgabe herumtuhe.

Ich hab auch zwei Lösungen, die linear unabhängig voneinander sind, so kann ich W auch umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} W = {s* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}:s,t \in K} \end{eqnarray*}$

20.12.2011, 20:30

galoisseinbruder

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Wissen wir mehr über K?
Außer für bestimmte spezielle K ist deine Basis von W korrekt. Und eigentlich steht´s damit auch schon da.

Was ist denn ein linearer Isomorphismus?

21.12.2011, 16:14

quarry

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> Wissen wir mehr über K?
In der Angabe steht nicht mehr nein!

> Außer für bestimmte spezielle K
welche spezielle K´s ?

Wir müssen noch zeigen, dass die abbildung linear ist und bijektiv! Wie tuhe ich das bei zwei ARgumenten?

$\begin{eqnarray*} \phi (t,s) = {s* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}:s,t \in K} \end{eqnarray*}$

Linearität:
f(k* x) = k* f(x)
f(x+y)=f(x)+f(y)

Bijektivität:
>Surjektiv
>Injektiv

Ich weiß nicht wie ich das in dem Fall zeigen soll!

21.12.2011, 16:43

galoisseinbruder

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} W = \{s* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}:s,t \in K\} \end{eqnarray*}$

ist erstmal ein Unterraum von K³.
Gesucht ist jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: W\to K^2 \end{eqnarray*}$ , die ein Isomorphismus ist.
Insbesondere hat eine Abbildung Quelle und Ziel. Das hat Deine nicht.
Tipp: Basisvektoren auf Basisvektoren abbilden.

Und z.B im Fall des Körpers mit 2 Elementen sind diese zwei Vektoren lin.abh.

P.S Es gibt im deutschen kein Wort das tuhen heißt. Es gibt tun und selbst das es ein furchtbares wort.

21.12.2011, 18:08

quarry

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> Gesucht ist jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: W\to K^2 \end{eqnarray*}$ , die ein Isomorphismus ist.
Ja
aber die vorhin angegebene Abbildung, geht doch sicher in W und geht von zwei Vektoren aus.

> Tipp: Basisvektoren auf Basisvektoren abbilden.
Basisvektor sind doch elemente , mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als Linearkombination darstellen lässt. Basisvektoren kamen in der Vorlesung noch nicht so genau nur kurz angechnitten.
Kannst du mir da nochmals helfen?

LG

21.12.2011, 18:12

galoisseinbruder

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Zitat:

> Gesucht ist jetzt eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: W\to K^2 \end{eqnarray*}$ , die ein Isomorphismus ist. Ja aber die vorhin angegebene Abbildung, geht doch sicher in W und geht von zwei Vektoren aus.

Wenn du dir sicher bist dann schreib die Abbildung sauber hin, dann können wir drüber reden.
Und wie erwähnt hast du vorhin keineAabbildung angegeben, nur eine Abbildungsvorschrift.

Und dein Verständnis von basisvektoren ist doch gut, insbesondere dürftest du auch schon die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ gesehen haben.

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21.12.2011, 18:21

quarry

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$\begin{eqnarray*} \phi (t,s) = s* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist dass nun eine Abbildung oder wie wird es zu einer?
Dies bildet sicher in W ab, weil es W in anderer Schreibweise ist.

Die stadartBasis ist doch e? Und im zweidimensionalen sind diese e_1 = (0,1) und e_2 = (1,0)

21.12.2011, 18:24

galoisseinbruder

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Ich hasse es mich wiederholen zu müssen

Zitat:

Insbesondere hat eine Abbildung Quelle und Ziel.

Ist daran irgendwas unklar?

21.12.2011, 18:37

quarry

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Tut mir leid.
> Tipp: Basisvektoren auf Basisvektoren abbilden.
Die Stadard Basisvektoren in K^2 sind (1,0) und (0,1)
Aber ich weiß nicht wie du das mit den abbilden meinst!? Soll ich jetzt in meine Menge statt t und s die Basisvektoren einsetzen??

lG

21.12.2011, 18:40

galoisseinbruder

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Ein letztes Mal:

Zitat:

Ich hasse es mich wiederholen zu müssen Zitat: Insbesondere hat eine Abbildung Quelle und Ziel. Ist daran irgendwas unklar?

Entschuldigen ist schön und gut. Drauf eingehen wär auch ein Gebot der Höflichkeit.
Ich frag das nicht zum Spaß. Und die Beschäftigung damit klärt dann auch die anderen Fragen.

21.12.2011, 18:45

quarry

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Mir ist klar, dass eine Abbildung Quelle und Ziel hat.

Das Ziel wäre ganz W und die Quelle wären zwei zweidimesionale Vektoren t und s.

Ich komme trotzdem aber nicht weiter.

21.12.2011, 18:49

galoisseinbruder

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Quelle und Ziel müssen hiier jeweils Vektorräume sein.

Zitat:

zwei zweidimesionale Vektoren t und s.

ist im allgemeinen keiner. Wie sieht die Abb. konkret aus?

Uund um das mal klar zu stellen: Ich werde dir die Abbildung hier nicht hinschreiben. das ist der wesentliche Schritt den du hier selber machen darfst.

21.12.2011, 19:01

quarry

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Mir ist schon klar, dass du mir die Lösung nicht vorschreiben wirst aber du kannst mich ja zur Lösung führen!

> Wie sieht die Abb. konkret aus?
Das ist ja gerade die Frage!!! Wenn ich die beantwortet hätte wäre ich nicht mehr im Forum!
$\begin{eqnarray*} W = \{s* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix}:s,t \in K\} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} K* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + K * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w_2\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Abbildung: K^2 -> W

Meine Frage: Wie bilde ich e_1 auf w_1 und e_2 auf w_2 ab?

21.12.2011, 19:06

galoisseinbruder

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Natürlich wärst Du nicht hier, wenn du die Antwort bereits wüsstest. Das entlastet dich aber nicht davon selber zu denken und wirklich zu lesen was ich als Tipps gebe.

Zitat:

Meine Frage: Wie bilde ich e_1 auf w_1 und e_2 auf w_2 ab?

Indem Du's tust. Die Frage ist dann nur ob die Abbildung dann wohldefiniert ist.
(was sie ist.)

21.12.2011, 20:10

quarry

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$\begin{eqnarray*} K* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + K * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi: K^2 -> W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(e_1,e_2) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
??? Ich wüsste nicht wie ich das sonst machen sollte!

21.12.2011, 20:15

galoisseinbruder

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Wie multiplizierst du denn zwei Vektoren?
Und da $\begin{eqnarray*} e_1 \in K^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \in K^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (e_1,e_2) \notin K^2 \end{eqnarray*}$

Wie sieht denn ein element in $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ aus? wie kann man es durch $\begin{eqnarray*} e_1, e_2 \end{eqnarray*}$ ausdrücken?

21.12.2011, 20:26

quarry

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Hallo
Elemet aus $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

> wie kann man es durch $\begin{eqnarray*} e_1, e_2 \end{eqnarray*}$ ausdrücken?
$\begin{eqnarray*} e_1 *\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} + e_2 * \begin{pmatrix}0 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}0 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ABer bei meiner Menge?

21.12.2011, 20:34

galoisseinbruder

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Zitat:

Elemet aus $\begin{eqnarray*} K^2 \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente

dafür erschlägt dich jeder anständige Korrektor (Das würde $\begin{eqnarray*} |K^2|=2 \end{eqnarray*}$ heißen)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus wird schon eher ein Schuh.

Wie multiplizierst Du Vektoren? Was soll bei diesem Vektorprodukt rauskommen?

21.12.2011, 20:38

quarry

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Hallo
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = x*a + y*b
EIne reealle zahl, also in dem fall ein element aus K

21.12.2011, 20:46

galoisseinbruder

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K soll laut dir ein beliebiger Körper sein. Damit kannst du in keinster weise mit rellen zahlen argumentieren (es gibt sehr viele Körper die mit reellen Zahlen gar nichts zu tun haben)

Mit Deiner Def. des Vektorprodukts ist das hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} e_1 *\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} + e_2 * \begin{pmatrix}0 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix}0 \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Zahl und kein Vektor.

Merke: In allgemeinen Vektorräumen gibt es kein Produkt von Vektoren, sondern nur die Skalarmultiplikation.
Ich fürchte du darfst dich über Weihnachten mit dem Thema Vektorräume nochmal auseinandersetzen.

21.12.2011, 20:54

quarry

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Hei
Nochmals:
$\begin{eqnarray*} X =\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = x * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + y * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = x *e_1 + y*e_2 \end{eqnarray*}$
Jeder Punkt kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.#

So stimmts.
Trotzdem komme ich im gesamten nicht weiter.

21.12.2011, 21:03

galoisseinbruder

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du suchst jetzt nach einer Abb: $\begin{eqnarray*} f:K^2 \to W \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abbildet.
Was passiert mit deinem X unter dieser gesuchten linearen Abbildung.

21.12.2011, 21:28

quarry

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Eine solche abbildung finde ich leider nicht. Mit den zweielementigen Basisvektoren komme ich nie zu w_1 und w_2 .-..-

21.12.2011, 21:32

galoisseinbruder

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Wieviele Einträge so ein Vektor hat ist apriori irrelevant.
Du sollst $\begin{eqnarray*} e_1 \end{eqnarray*}$ auf nennen wirs $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2 \end{eqnarray*}$ auf nennen wirs $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ abbilden.
(abstraktion ist manchmal ein Segen)

21.12.2011, 21:40

quarry

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Ich bin anscheinend zu blöd. Tut mir leid.

Danke für die Hilfe.

21.12.2011, 21:48

galoisseinbruder

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Ich bezweifle das es Blödheit ist. Du weigerst dich nur (evtl. aufgrund zuvielen Waldes) das relativ banale, offensichtliche, etwas abstrakte zu tun.

21.12.2011, 22:39

quarry

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Servus. Mich lasst dass ja nicht in ruhe!!
Meine Gedanken dazu:
$\begin{eqnarray*} A * e_1 = w_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A * e_2 = w_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -> \phi (X) = \begin{pmatrix} -2&0 \\ 2&8 \\ 2&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Ist das nun die Abbildung?
Was muss ich denn nun jetzt machen bei dem Bsp?

21.12.2011, 22:46

galoisseinbruder

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So kann man's machen.
damit hast du eine Abb. $\begin{eqnarray*} \phi : K^2 \to K^3, X \mapsto AX \end{eqnarray*}$ definiert.
Damit musst Du jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$
- linear
- injektiv
ist und als Bild W hat.

Denk dran bei Abbildungen sind Quelle und Ziel sehr wesentlich.

21.12.2011, 23:16

quarry

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Linearität hab ich geschafft!
Bei der Injektivität bin ich dran!

$\begin{eqnarray*} \phi(x) = \phi(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1 * w_1 + x_2 * w_2 = y_1 * w_1 + y_2 * w_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_1-y_1) * w_1 + (x_2-y_2)*w_2 =0 \end{eqnarray*}$
->Auch eine Linearkombination. WIe komme ich aber zu der erkenntnis, dass x=y ist?

21.12.2011, 23:24

galoisseinbruder

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Nutze aus, dass $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

21.12.2011, 23:28

quarry

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> Nutze aus, dass $\begin{eqnarray*} w_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.
Bringt mich jetzt nicht wirklich weiter!
Das ist ja eine Linearkombination der Basisvektoren, und weil diese linear unabhängig sind

21.12.2011, 23:36

galoisseinbruder

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def. der linearen Unabhängigkeit?

21.12.2011, 23:47

quarry

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Die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2...,v_n \end{eqnarray*}$ heißen linear unabhängig falls
$\begin{eqnarray*} s_1*v_1+s_2*v_2+...s_n*v_n =0 \end{eqnarray*}$
nur dann möglich wenn $\begin{eqnarray*} s_1=s_2=..=s_n=0 \end{eqnarray*}$

Okay klar $\begin{eqnarray*} x_1-y_1 =0 -> x_1= y_1, x_2 -y_2=0-> x_2 = y_1 \end{eqnarray*}$
SUpa Injektivität also erledigt.

Fehlt Surjektivität!
-> als Bild W hat
kannst du mir da nochmals einen Tipp geben?

LG

22.12.2011, 00:04

galoisseinbruder

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zeige Bild(f)=W mittels der Inklusionen $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$

22.12.2011, 00:14

quarry

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W $\begin{eqnarray*} \subseteq K^3 \end{eqnarray*}$
Was du aber glaub ich nicht meinst! OderR?

Ich denke, ich schaff das jetzt nicht mehr und melde mich morgen nochmals. ich hoffe du bist auch noch heute Früh/Mittag da.

Ganz liebe grüße und danke.Gute nacht.

22.12.2011, 11:59

quarry

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Wir haben glaub ich was falsch!! Man muss doch die Basisvektoren von W nehmen und nicht irgendwelche Bektoren von W, weil so erzeugen wir ja nicht ganz W!!

$\begin{eqnarray*} \phi (X) = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 7&8 \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
da
y=7x + 8z
->alle Elemten in W der Form = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 7x+8z \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ 7x\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 8z \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} x* \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} z* \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Surjektivität
$\begin{eqnarray*} \phi (X) = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 7&8 \\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * x + y* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und das ich ja W, wenn x,y in K sind ?

LG

22.12.2011, 12:08

quarry

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Und das sind sie ja da die Abbildung von K^2 -> W läuft

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