Stetigkeit von Funktionen |
| 20.12.2011, 22:08 | Barbossa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit von Funktionen Ich soll folgende Funktion auf Stetigkeit untersuchen: D = (-2,2), f(x) = falls x ungleich 0, wurzel(betrag(x)) * sin(1/x). falls x = 0 , 0 Meine Ideen: Ich dachte eig, dass das doch klar ist, da unter der Wurzel eben durch den Betrag nichts negatives entstehen kann, wodurch die wurzel nicht definiert wäre und genauso kann der nenner auch nicht 0 werdenn, da dieser Fall ja abgedeckt ist. Das einzige was ich mir denken kann, ist dass es eben große sprünge, zwischen x = 0 und eben etwas dass ein wenig größer oder kleiner ist gibt. Was muss ich jedoch jetzt machen um auf eine Lösung zukommen, sprich gibt es ein Schema? |
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| 21.12.2011, 08:21 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stetigkeit von Funktionen Vielleicht liefert der Plot eine Idee: |
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| 21.12.2011, 10:04 | Barbossa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok also ich denke, dass die Funktion aufjedenfall Stetig in > ca. -0,3 und < ca. o,3 im Definitionsbereich ist. Jetzt ist die Frage, ich dachte stetigkeit bedeutet, dass man die Linie in einem Zug ohne absetzen zeichenen können muss, damit man sagen kann es ist stetig. Was ja in diesem Fall der Fall ist. Aber stimmt das wirklich so? Und wenn ja, wie schreibe ich das formal korrekt auf? |
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| 21.12.2011, 10:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe die formale Definition der Stetigkeit. Die dort genannten Bedingungen mußt du nachweisen. Interessant ist hier nur die Stelle x=0, da die Funktion außerhalb dieser Stelle aus stetigen Teilfunktion besteht. |
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| 21.12.2011, 10:56 | Barbossa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut. Ich würde jetzt sagen, dass (yn) = sqrt(abs(n)) Stetig ist, genauso wie (zn) = sin(1/n). Jetzt heißt es lim f(x) (x--> x_0) = f(x_0) Also: lim f(x) (x --> 0) = 0 und lim f(x_0) (x-->0) = 0 => f(x) ist stetig in D |
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| 21.12.2011, 11:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt: überwiegend ist das nur formaler Unsinn. Du wirfst da mit Begriffen um dich, ohne wirklich zu verstehen, was diese bedeuten und ob das ganze einen gewissen Sinn ergibt. Du greifst da zu Folgen, die stetig sein sollen. Ich habe noch nie eine stetige Folge gesehen. Außerdem fragt sich, was das n darstellen soll. Der Index der Folgenglieder? Das einzige, was einigermaßen Sinn ergibt, ist . Wenn du das für x_0 = 0 zeigen kannst, wäre die Funktion in x=0 stetig. Aber einfach hinschreiben, daß ist, gilt nicht. Das mußt du schon noch beweisen. |
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| 21.12.2011, 12:23 | Barbossa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich versteh das Problem der Aufgabe einfach nicht glaube ich. Das steht doch da, für den Fall x = 0 ist f(x) = 0. Was soll ich denn dann noch beweisen? Ich habe nochmal ins Skript geschaut, und da steht folgendes Beispiel: D= [0,1] vereinigt {3/2} f(x) := x^2, falls 0 <= x < 1 1/2, falls x = 1 1, falls x = 3/2 Klar: f ist stetig in x_0 Element [0,1) f ist nicht stetig in x_0 = 1 f ist stetig in x_0 = 3/2. Sei dazu (x_n) Folge in D mit x_n --> 3/2 => Es gibt ein n_0 aus N und für alle n >= n_0 ist x_n=3/2 => Für alle n >= n_0 gilt f(x_n) = f(3/2) = 1 => f(x_n) --> 1 = f(3/2) => f stetig in 3/2 Ich bin mir aber nicht sicher ob ich das auch so in Bezug auf meine Aufgabe machen kann, weil da steht, für fast alle n aus N ist f(x_n) = 1. Aber in meinem Fall stimmt das ja nicht da ja nach f(0) wieder der Fall x =/= 0 greift. |
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| 21.12.2011, 12:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du sollst beweisen, daß die Funktion in x=0 stetig ist. Mit der Angabe eines Funktionswertes ist das noch lange nicht getan. Da könnte ja auch stehen, daß f(0)=1 sein soll. Also irgendwie kann es ja nicht egal sein, welchen Funktionswert die Funktion bei x=0 hat. Wie wäre es, wenn du mal die Definition rauskramst, die ihr für Stetigkeit gemacht habt? Nur dann kann man ja irgendwie eine Idee entwickeln, was man überhaupt beweisen muß. |
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| 21.12.2011, 14:09 | Barbossa | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok in der Definition heißt es: Für jede Folge (x_n) in D mit x_n --> x_0 gilt: f(x_n) --> f(x_0) f heißt stetig auf D, wenn f in jedem x_0 Element D stetig ist. Aber das bringt mich nicht weiter, da ich nicht verstehe, warum ich nicht einfach sagen kann, dass es eine Folge x_n gibt, die gegen x_0 konvergiert, x_0 setze ich 0. Also geht f(x_n) gegen f(0) und f(0) ist 0. |
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| 21.12.2011, 15:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil es eben nicht so einfach ist. Du mußt zeigen, daß für jede Folge x_n, die gegen x_0 konvergiert, die Folge der Funktionswerte f(x_n) gegen f(0) (also gegen Null) konvergiert. Und einfach sagen, daß das so ist, gilt nicht. Es hätte ja auch sein können, daß f(0)=1 definiert wurde. Würden dann auf einmal die f(x_n) gegen 1 konvergieren, obwohl sie eben noch gegen Null konvergierten? 
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