Taylor-Reihe: sin(20°) auf 6 Stellen genau berechnen

20.12.2011, 22:44	MatheKind	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor-Reihe: sin(20°) auf 6 Stellen genau berechnen Hallo, hier eine Nuss, die ich gerade versuche zu knacken: "Mit Hilfe der Taylor-Reihe um $\begin{eqnarray} x_0 = 0 \end{eqnarray}$ der sin-Funktion soll sin 20° auf sechs Stellen genau berechnet werden. Schätzen Sie ab, wie viele Glieder dieser Reihe mind. berücksichtigt werden müssen. Verwenden Sie dazu die Abschätzung Für $\begin{eqnarray} 3 \leq n \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N ; 2^{n-1} < n \end{eqnarray}$ " Als erstes: $\begin{eqnarray} 20° = \frac{\pi}{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin \ x = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sin(\frac{\pi}{9}) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k * (\frac{\pi}{9})^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray}$ Näherungsformel:* $\begin{eqnarray} \frac{\|p-p\|}{\|p\|} < 5* 10^{-t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\|sin(\pi / 9)-S_n\|}{sin(\pi / 9)} < 510^{-6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|sin(\pi / 9)-S_n\| < 510^{-6} * sin(\pi / 9) \end{eqnarray}$ Leibniz-Kriterium:* $\begin{eqnarray} \|S-S_n\| \leq \|a_{n+1}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|a_{n+1}\| = \frac{(\frac{\pi}{9})^{2k+3}}{(2k+3)!} \end{eqnarray}$ Weiter geht's! $\begin{eqnarray} \frac{(\frac{\pi}{9})^{2k+3}}{(2k+3)!} < 510^{-6} * sin(\pi / 9) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(2k+3)!}{(\frac{\pi}{9})^{2k+3}} > \frac{10^6}{5sin(\pi / 9)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{(2k+3)!}{(\frac{\pi}{9})^{2k+3}} > 584760,88 \end{eqnarray}$ Jetzt kommt das Abschätzen, das wahrscheinlich viel zu grob ist. Mit dem Hinweis für " $\begin{eqnarray} 3 \leq n \end{eqnarray}$ gilt für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N ; 2^{n-1} < n \end{eqnarray}$ " kann ich überhaupt nichts anfangen. Deswegen habe ich einfach ausprobiert und da kam für n = 2 raus: 65503464 Stellen raus. Weiß jemand weiter? Liebe Grüße MatheKind

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