Sinus Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten

21.12.2011, 00:40

KingLui987

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Sinus Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten

Hallo zusammen,

ich würde gerne zwei beliebige 2-dimensionale Punkte mit einer Sinus Kurve verbinden.
Allerdings fehlt mir gerade ein Ansatz, wie man das machen könnte? Hat jemand eine
Idee, die mir den Anfang vereinfachen kann.

Sagen wir ich habe die Punkte P(100, 200) und Q(300, 600). Wie man die Punkte mit einer
Geraden verbindet ist leicht berechnet. Aber wie schafft man es, dass statt der Gerade eine
Sinus Kurve zusehen ist. Sinus mit konstanter Frequenz, Amplitude etc. Ein ganz simpler Sinus.

Ausgangspunkt sind lediglich die beiden gegebenen Punkte. Diese ändern sich dynamisch.
Der Verbindung der Punkte soll dabei immer eine Sinus Kurve sein. Ich hoffe meine Idee wird
klar mit der angehangenen Grafik.

Aktuell hab ich leider selbst keine Ahnung.

mfg

21.12.2011, 00:46

tigerbine

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RE: Sinus Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten
Du hast 2 Punkte. Nun musst du mehr Informationen darüber geben, welcher Bauart die Sinuskurve sein soll. So sieht mir das nicht eindeutig aus.

Man könnte die Gerade durch die Punkte ziehen, als "x-Achse interpretieren" und dann die beiden Punkte als Nullstellen einer vollen Periode (eine lassen wir also aus). Man muss nur die Periodenlänge anpassen, Amplitude bleibt Normal bei 1.

Verstehst du was ich meine?

21.12.2011, 01:02

KingLui987

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Ok, du hast recht. Zu weni Infos meinerseits. Sorry!
Was ich versuche ist eine kleine Anwendung zu schreiben, bei der man zwei
Mal klicken kann und somit zwei Punkte setzt. Zwischen diesen Punkten soll dann eine Sinus
Kurve zu sehen sein. Soweit für den Start. Später soll es möglich sein, die Frequenz der
resultierenden Kurve belibeig zu erhöhen / veringern. Gleiches gilt für die Amplitude. Es ist
also nicht immer nur eine volle Periode zwischen den Punkten.

Hier meine Idee. Winkel zwischen den Punkten ausrechnen, "normalen" Sinus zeichnen und
die resultierende Kurve um berechneten WInkel drehen? Geht dir Kurve dann immernoch
durch die beiden Punkte??

21.12.2011, 01:09

tigerbine

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Wie gesagt, ich kann mir die Ebene doch erst mal gedanklich so drehen, dass die Punkte auf der x-Achse liegen. Dann drehen wir das ganze wieder zurück. Das hat auch erst mal den Sinn, dass wir deine "linie" noch als Funktion angeben können [zu einem x-Wert genau ein y-Wert].

Nun musst du aber erst mal sagen, wie du dir den Sinus vorstellst. Ich bau mal "Schrauben" ein.

$\begin{eqnarray*} f(x)=a\cdot \sin(bx+c)+d \end{eqnarray*}$

So, welche sollen es denn sein. Beispielpunkte nehmen wir mal (0|0) und (0|2). In unserem Modell also Nullstellen bei "x=0" und "x=2". Wie möchtest du da einen Sinusfunktion durchlegen?

21.12.2011, 01:24

KingLui987

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Weiß nicht genau, ob ich dich richtig verstehe. Aber sagen wir diese Form reicht:

$\begin{eqnarray*} f (x) = a\sin(bx) \end{eqnarray*}$

Ich brauche keine Phasenverschiebung und auch keine vertikale Achsen Verschiebung.
Möchte lediglich später die Frequenz und Amplitude verändern. Für unser Model sagen, wir
soll der Sinus eine Amplitude von 1 haben und zwei volle Perioden auf der Strecke

$\begin{eqnarray*} \vec{PQ} \end{eqnarray*}$

haben.

21.12.2011, 01:30

tigerbine

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Ich zeige dir am besten was ich meine (bevor mir die Augen zufallen). 2 Punkte, wie gesagt "x=0" und "x=2"

So, da kann ich nun an der Amplitude beliebig drehen. Geht immer noch durch die Punkte. => Zu wenig Informationen für Eindeutigkeit.

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21.12.2011, 01:44

KingLui987

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Mhmh mit den angegebenen Werten sollte der Sinus doch eindeutig sein.

$\begin{eqnarray*} Startpunkt : P(100/ 200) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Endpunkt : P(300/ 600) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Amplitude: a=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Frequenz: b = 2PI \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 0\ und\ d = 0 \end{eqnarray*}$

Falls da noch Angaben für die Eindeutigkeit fehlen, stehe ich gerade aufm Schlauch. Sorry!

21.12.2011, 01:46

tigerbine

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Du willst also den stinknormalen Sinus?

Den willst du in der Ebene passend drehen, so dass die 2 Punkte auf dem "Weg" liegen?

21.12.2011, 01:51

KingLui987

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Ja genau, nur soll der Sinus in P anfangen und in Q aufhören!

Die beiden Punkte ändern sich dynamisch. Mal ändert sich nur einer, mal vllt beide.

21.12.2011, 01:56

tigerbine

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Definiere: Anfangen und Aufhören. Dir muss klar sein, dass du dann mit einem Anfangspunkt schon den Enpunkt festlegst, zumindest auf einer Kreislinie. Es kann also sein, dass B so gar kein Endpunkt sein kann.

Da du ja den sin(x) ausgewählt hattest und meine "Freiheiten" ausgeschaltet hattest.

21.12.2011, 09:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von KingLui987
Ja genau, nur soll der Sinus in P anfangen und in Q aufhören!

Nur neugierig:

Meinst Du dann vielleicht eine Koordinatentransformation? Wenn der Sinus in $\begin{eqnarray*} (P_x,P_y) \end{eqnarray*}$ anfangen und in $\begin{eqnarray*} (Q_x,Q_y) \end{eqnarray*}$ enden soll, müsstest Du zunächst die Strecke und den Winkel zwischen diesen beiden Punkten berechnen:

$\begin{eqnarray*} mag = \sqrt {(Q_y-P_y)^2+(Q_x-P_x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = atan2(Q_y-P_y, Q_x-P_x) \end{eqnarray*}$

Dann gilt für die Deine verschobene, gedrehte und gestreckte Sinuskurve:

$\begin{eqnarray*} x' = P_x + \frac {mag}{2 \pi} \cdot x \cos \phi - \sin x \sin \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = P_y + \frac {mag}{2 \pi} \cdot x \sin \phi + \sin x \cos \phi \end{eqnarray*}$

Dabei läuft $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

21.12.2011, 13:56

tigerbine

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Hi Steffen,

Wie stellst du sicher, dass bei der Vewendung des "normalen Sinus" die beiden Punkte wirklich in den gewünschten Wendepunkten der Sinusfunktionleigen. Mir geht es gerade nicht darum, wie der endgültige "Term" der Funktion lautet. Ich stelle mir gerade einen Draht gebogen in Sinusform vor, so wie der user in haben möchte. Da machen wir 2 Perlen in die Wendepunkte bei "0" und "2pi" Erste Perle legen wir auf P. Dann sehe ich nicht, wie man Q beliebig erreichen sollte, ohne die Periodenlänge anzupassen.

=> Das will ich in den ganzen Beiträgen klären. Vielleicht hilfst du mir da mal. Wink

Wink

21.12.2011, 15:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von tigerbine
Erste Perle legen wir auf P. Dann sehe ich nicht, wie man Q beliebig erreichen sollte, ohne die Periodenlänge anzupassen.

KingLui987 hat nicht verboten, die Periodenlänge anzupassen! Er will, daß seine Sinuskurve in P anfängt und in Q aufhört. Die Periode soll also genau der Entfernung zwischen P und Q entsprechen. Das ist meine Variable "mag".

Aber am besten äußert sich KingLui987 selbst noch einmal.

Viele Grüße
Steffen

22.12.2011, 10:41

tigerbine

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Zitat:

Original von KingLui987
Mhmh mit den angegebenen Werten sollte der Sinus doch eindeutig sein.

$\begin{eqnarray*} Frequenz: b = 2PI \end{eqnarray*}$

hier meinte ich hätte er sie vorgegeben gehabt. verwirrt

verwirrt

Wink

22.12.2011, 10:55

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Original von KingLui987
$\begin{eqnarray*} Frequenz: b = 2PI \end{eqnarray*}$

hier meinte ich hätte er sie vorgegeben gehabt.

Hat mich ja auch stutzig gemacht. Zusammen mit dem Bild, das er im ersten Post beigelegt hat, interpretiere ich aber die "Frequenz" $\begin{eqnarray*} 2 \pi \end{eqnarray*}$ als den Wunsch nach genau einer vollen Periode (auch wenn er später "zwei volle Perioden" schreibt; vielleicht meint er da dann Halbwellen).

Aber natürlich sind das alles nur Vermutungen, nur KingLui987 selbst kann sagen, was wirklich gemeint ist.

Dennoch war's für mich mal wieder eine gute Übung zur Koordinatentransformation. Und funktioniert sogar...

Viele Grüße
Steffen

22.12.2011, 14:37

DerDepp

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RE: Sinus Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten
Hossa Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du hast hier zwei verschiedene Baustellen, die du am einfachsten auch als solche behandeln solltest.

1) Du hast eine beliebige Funktion f, die du zwischen zwei Punkten zeichnen möchtest.

2) Du möchtest für f eine Sinusfunktion haben.

Zu Problem 1:

Als Basis für das Koordinatensystem dient hier nicht die x-Achse (In deiner Skizze sieht man schön, dass die Kurve bezüglich der x-Achse gar keine Funktion ist), sondern die Verbindungslinie zwischen den beiden Punkten P und Q. Diese wird durch folgende Gerade beschrieben:

$\begin{eqnarray*} g:\quad\binom{x}{y}=\binom{x_p}{y_p}+\lambda\cdot\binom{x_q-x_p}{y_q-y_p}\quad;\quad 0\le\lambda\le 1 \end{eqnarray*}$

Der Parameter lambda liegt im Intervall [0;1] und eignet sich daher, um die Funktion f unabhängig vom Abstand der beiden Punkte P und Q zu beschreiben. Daher empfiehlt es sich, f wie folgt zu definieren:

$\begin{eqnarray*} f: [0|1]\to\mathbb R, \quad\lambda\to f(\lambda) \end{eqnarray*}$

Zum Zeichnen des Punktes F(lambda, f(lambda) läuft man dann von P aus den Anteil lambda in Richtung Q. Und von dort aus senkrecht zum Verbindungsvektor von P nach Q den Funktionswert f(lambda) entlang. Formal lauten dann die Koordinaten des zugehörigen Punktes:

$\begin{eqnarray*} \binom{\lambda}{f(\lambda)}\to\binom{x_f}{y_f}=\binom{x_p}{y_p}+\lambda\cdot\binom{x_q-x_p}{y_q-y_p}+\frac{f(\lambda)}{\sqrt{(y_q-y_p)^2+(x_q-x_p)^2}}\cdot\binom{y_q-y_p}{-(x_q-x_p)} \end{eqnarray*}$

Die Wurzel ist ein Normierungsfaktor und gleich der Länge des orthogonalen Vektors. Er sorgt dafür, dass die Funktion f immer die gleiche Höhe bzw. Tiefe hat, egal wie weit die Punkte P und Q auseinander liegen.

Zu Problem 2:

Du musst deine gewünschte Sinus-Kurve in Abhängigkeit von lambda schreiben. Eine Sinuskurve mit der Amplitude A und der Wellenzahl k (=Anzahl vollständiger Schwingungen) hat dann die Darstellung:

$\begin{eqnarray*} f(\lambda)=A\sin\left(2\pi k\,\lambda\right)\quad;\quad 0\le\lambda\le 1 \end{eqnarray*}$

Ok?

22.12.2011, 22:56

tigerbine

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RE: Sinus Kurve zwischen zwei beliebigen Punkten
@der Depp: Dir ist klar, dass wir hier keine Komplettlösungen anbieten. Desweiteren wundere ich mich, warum du den Dialog zwischen Steffen und mir - der sich an den Fragesteller richtet - so einfach übergehst.

Meine Version "mit der x-Achse" diente wie wie ich nun mehrfach ausgeführt habe nur dazu, dass man die Vorgabe "Sinuskurve" konkreter fasst und da tut man sich hier eben leichter, wenn man Plotter und Co benutzen kann. unglücklich

unglücklich

23.12.2011, 00:28

DerDepp

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@tigerbine:

Sorry, dass ich dir dazwischen gefunkt habe. Ich wusste nicht, dass es hier üblich ist, dass nur ein Antworter einen Fragenden betreut. Außerdem hatte ich den Eindruck, dass der Thread hier nicht wirklich Fortschritte macht. Nach einer Seite Postings habt ihr noch nicht mal angefangen, das Problem zu lösen, sondern seid immer noch beim Klären der eigentlichen Aufgabenstellung. Da dachte ich, ich schreibe mal eine Antwort, damit der Fragende in diesem Leben noch eine Lösung bekommt...

Aber gut, ich gelobe Besserung: Ich werde nicht mehr posten, wenn schon jemand geantwortet hat und ich werde keine Komplettlösungen mehr posten.

23.12.2011, 08:54

tigerbine

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Zitat:

Original von DerDepp
Nach einer Seite Postings habt ihr noch nicht mal angefangen, das Problem zu lösen, sondern seid immer noch beim Klären der eigentlichen Aufgabenstellung.

Weil das der Kern mathematischen Arbeitens ist. Erst die Aufgabe klären. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du darfst in anderen Threads gerne helfen, wenn die Aufgabe wirklich stockt. Hier war das nur nicht der Fall. Komplettlösungen sind aber zu vermeiden. Vielen Dank. Freude

Freude

23.12.2011, 10:59

Leopold

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Zur Aufklärung: Ist vielleicht die Situation der Euklid-Datei im Anhang gemeint?
Zum Öffnen der Datei verwende Euklid.

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