Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers |
21.12.2011, 12:11 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers Sitze an folgender Aufgabe und komme da leider absolut nicht weiter:
Ich denke ich muss hier die Bahnformel verwenden, weiß dann aber noch nicht so ganz wie ich die hier anwenden kann, da mir die Gruppenoperation dazu fehlt. Mit dem Hinweis kann ich leider auch nicht viel anfangen, dass heißt ja eigentlich nur, dass die Gruppe von nur einem Element erzeugt wird... Wäre echt super wenn mir jemand nen Tipp geben könnte, wie ich am besten an die Aufgabe rangehe. Danke schon mal im Voraus. |
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21.12.2011, 12:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Ordnung haben denn alle Elemente aus G höchstens? Was ist dann aber los, wenn man auch noch bedenkt, dass G zyklisch ist? |
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21.12.2011, 12:20 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Ich überlasse tmo das Feld mit einem etwas anders gestalteten Tipp. |
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21.12.2011, 12:26 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ihr beiden. Naja das Polynom vom Grad 2 kann auch höchstens 2 Nullstellen haben. Damit weiß ich also dass 2 Nullstellen hat. Hat damit die Ordnung 2? Ich steh da irgendwie total auf dem Schlauch Wie komme ich denn an die Ordnung der Elemente aus ? Ich kenne nur die Verwendung der Ordnung als Ordnung einer Gruppe... |
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21.12.2011, 12:40 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast es ja schon fast. Wir machen jetzt mal mit dem Ansatz über die Anzahl der Nullstellen von weiter. Das ist schöner finde ich, da man keine relativ starke Aussage wie "G zyklisch" braucht. Und wenn man diesen Hinweis nicht bekäme, wohl auch die naheliegendste Lösung. Was wäre denn los, wenn G mehr als 2 Elemente enthält? PS: Die Lösung ist übrigens nicht eindeutig, es könnten 2 Körper sein. |
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21.12.2011, 12:47 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja wenn mehr als 2 Elemente enthielte, dann hätte doch auch das Polynom mehr als 2 Nullstellen, was aber nicht möglich ist. Dann hätte also zwei Elemente und demnach drei, da wir hier ja noch mitbetrachten. War es das schon? |
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21.12.2011, 12:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. G kann also nicht mehr als 2 Elemente haben. Aber warum sollte dann sofort folgen, dass G genau 2 Elemente hat? Es gibt durchaus noch eine andere Möglichkeit. Deshalb hab ich ja geschrieben: Es gibt 2 Körper, die zu der Beschreibung passen. |
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21.12.2011, 12:52 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt es kann ja auch sein, dass mein Polynom nur eine Nullstelle hat. Kann ich denn dann pauschal sagen, wie viele Elemente hat? |
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21.12.2011, 12:54 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe doch schon geschrieben, dass es 2 Körper gibt, die zu der Beschreibung passen. Welche sind dies denn? |
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21.12.2011, 12:58 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das müsste doch im Falle, dass es nur eine Nullstelle gibt sein, weil ja 1 die Nullstelle ist und wir die 0 noch dazutun und falls wir zwei Nullstellen haben . Demnach hätte ich einen Körper mit Ordnung 2 und einen mit Ordnung 3. |
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21.12.2011, 13:31 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Wenn du willst kannst du ja noch schnell nachprüfen, dass diese es auch wirklich tun. |
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21.12.2011, 13:32 | Arya | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie mache ich das denn genau? |
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21.12.2011, 14:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du suchst dir jeweils alle Elemente aus raus und guckst einfach ob die erfüllen, was sie erfüllen sollen. |
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