gleichmäßige Stetigkeit

21.12.2011, 16:21	dmidi	Auf diesen Beitrag antworten »
gleichmäßige Stetigkeit Meine Frage: Hallo, ich soll folgendes zeigen: 1. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ ist nicht gleichmäßig stetig für x > 0 2. $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x} } \end{eqnarray}$ ist gleichmäßig stetig für x >= 1 3. $\begin{eqnarray} \sqrt{\|x\| } \end{eqnarray}$ ist ohne Einschränkung gleichmäßig stetig Meine Ideen: Ich habe leider noch keinen sinnvollen Ansatz oder keine sinnvolle herangehensweise für diese Aufgabe gefunden
21.12.2011, 16:40	s.mann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: gleichmäßige Stetigkeit gleichmäßige stetigkeit heißt $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \ \exists \delta ( \epsilon ) > 0 : \|f(x)-f(y)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle x,y mit $\begin{eqnarray} \| x-y \| < \delta \end{eqnarray}$ am besten du versucht also $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| \end{eqnarray}$ umzuformen und nach oben abzuschätzen... Also bei dieser Aufgabe am besten erst mal Hauptnenner bilden und dann geschickt den bruch erweitern.. gruß
22.12.2011, 13:27	dmidi	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin durch umformen auf folgendes gekommen: $\begin{eqnarray} \| \frac{x-y}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} +\sqrt{y})}\| \end{eqnarray}$ der zähler ist ja jetzt kleiner als delta. wie mache ich weiter oder bin ich schon auf dem falschen weg?
22.12.2011, 14:46	s.mann	Auf diesen Beitrag antworten »
das sieht schon sehr gut aus. die 2. aufgabe ist jetz schon fast gelöst (versuche hier weiter abzuschätzen). was geht schief falls 0<x<1 bzw 0<y<1 (1.aufgabe)?
22.12.2011, 14:59	dmidi	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich jetzt -für den 2.fall- den ganzen nenner weglasse, erhalte ich: ...<\|x-y\|<delta dann kann ich delta=epsilon setzen und hab es oder?
22.12.2011, 15:44	s.mann	Auf diesen Beitrag antworten »
warum lässt du den nenner weg?? nicht einfach irgendwas machen, sondern abschätzen!
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22.12.2011, 16:32	dmidi	Auf diesen Beitrag antworten »
wie soll die abschätzung dann heißen? dachte der nenner ist >1 deshalb kann ich ihn weglassen bei der abschätzung
22.12.2011, 16:39	s.mann	Auf diesen Beitrag antworten »
gut von mir aus, wenn du >=1 meintest... er ist aber sogar >=2 also hätten wir das. wie sieht das ganze bei der ertsen aufgabe aus. warum kann das nicht gleichmäßig stetig sein??
23.12.2011, 14:46	dmidi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also nochmal, damit wir uns nicht falsch verstehen. Für x>=1 kann ich folgendes sagen: $\begin{eqnarray} \| \frac{x-y}{\sqrt{xy}(\sqrt{x} +\sqrt{y})}\| \leq \|x-y\| = \delta \end{eqnarray}$ Wenn ich nun delta gleich epsilon setzt müsste es passen oder? Für x>0 habe ich noch keine idee. Kannst du mir einen Tipp geben?

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