Ganzheitsring - N(a) = 1

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Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »
Ganzheitsring - N(a) = 1
Meine Frage:
Hallo!
Dia Problemaufgabe habe ich als Bild angehangen.

Erstmal: quadratfrei? Heißt das es existiert kein m für das gilt, m^2 | k ?
Ich habe zu dieser Gruppe O kein wirkliches Bild im Kopf, nach einiger Suche bin ich darauf gestoßen, dass es der Ganzheitsring ist, wobei ich das nicht ganz verstehe. Wir haben es in der VL auch definiert (Bildanhang), allerdings haben wir nie gesagt, was das kleine x oben noch zu bedeuten hat. N(a) ist ja die Norm von a, wenn a eine komplexe Zahl ist. Ich kann allerdings keinen wirklichen Bezug zur Aufgabe herstellen. Bitte um einen kleinen Denkanstoß

Meine Ideen:
s.o.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

- quadratfrei hast du richtig verstanden
- die sind Ringe. Ich kann mir die auch nicht vorstellen, ich kann mir praktisch keine algebraischen Objekte vorstellen - muss ich auch nicht. Hier reicht die Def. dieser Ringe. Was sie für zusätzliche Eigenschaften (wie ganzheitsring) haben ist für die Aufgabe erstmal irrelevant. Insbesondere wenn ihr ganzheit noch nicht behandelt habt.

Und jetzt das wesentliche: Das kleine x oben (ich schreib´s als *) bezeichnet die Gruppe der invertierbaren Elemente des Rings. (was garantiert irgendwo in deinem Skript steht.).
Damit sollte auch die Aufgabe klar sein.
 
 
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Danke! Wenn es also invertierbare Elemente sind, heißt dass ja wenn ich mit ein a aus O herausnehme, gibt es ein b aus O für das gilt: a*b = 1. Jetzt müsste ich daraus irgendwie folgern, dass N(a) = |a|^2 und N(b) = |b|^2 gleich 1 sind? Das ist mir nicht klar warum dass so sein sollte?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib mal die Norm eine Elements der konkret hin. Wie sieht ein Element des Rings aus?

Und die Norm ist multiplikativ. Wo liegt ihr Bild.

Übrigens entspricht die Norm nicht immer der komplexen (nicht für positive k), ist dort allerdings sehr ähnlich.
Edit: hab den zusatz k<0 in der Aufgabenstellung überlesen. damit ist der letzte Satz offensichtlich hinfällig.
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay! Das mit der komplexen Norm haben wir als Tipp bekommen! und in der Aufgabe ist k ja kleiner als 0. Die Elemente sehen ja entweder so aus: a + sqrt(k)*b oder: a + ((sqrt(k) + 1)/2)*b? oder? Das meinte ich, dass ich mir es nicht genau vorstellen kann (Ich meinte: Ich kann die Elemente nicht explizit aufschreiben!
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Die Elemente sehen so aus, und damit hast du sie explizit aufgeschrieben. oder ist dir das nicht explizit genug? (das ist deutlich präziser als man eine beliebige reelle zahl aufschreiben kann.)
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut! Ich war mir nur unsicher ob das so stimmt.

Wenn ich das jetzt mit der Norm aufschreibe sieht das ganze ja so aus:

(a + sqrt(k)*b)^2 = a^2 + 2*a*b*sqrt(k) + k*b^2

Das Bild der Norm liegt in R+, oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Damit wäre . Du hälst dichn nicht an deine eigenen definitionen.
Nach dem was du ausgerechnet hast ist das Bild nicht in den reellen Zahlen.
In Wirklichkeit liegt es sehr sogar in einer relativ kleinen Teilmenge von R+
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, das habe ich auch gerade überlegt^^. Okay ich stehe auf dem Schlauch. Es muss ja nachher für diese genannte Norm eben immer 1 herauskommen, also ist beim Bild eigentlich {1}.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich solltest du deine def. selber nachlesen können:
Zitat:
N(a) ist ja die Norm von a, wenn a eine komplexe Zahl ist.

Und das ist ja dankr k<0 der Fall.
Zitat:
N(a) = |a|^2

Und die Norm ist nicht die konstante Funktion 1. Abgesehen davon dass es bescheuert wäre, ist N(2)=4.
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein ich meinte auch nicht, dass es die Konstanten Funktion 1 ist, sondern in meiner Aufgabe ja immer 1 sein soll ( N(a) = 1 für alle a aus O)) oder verstehe ich die Aufgabe falsch? Ich hänge hier irgendwie gedanklich fest:

unser Tipp war die komplexe Norm, aber in unserem Fall ist a doch gar keine komplexe Zahl?

EDIT: quatsch. klar ist a eine komplexe zahl da ja k < 0 ist. Ich sehe trotzdem noch nicht wie ich von dort weiterkomme, bzw wie ich dann auf das Ergebnis 1 komme.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

es soll N(a)=1 nur für die invertierbaren Elemente gehen.
Zitat:
( N(a) = 1 für alle a aus O))

Das hieße das die Funktion konstant ist denn:


Rechne bitte jetzt einmal die Norm richtig aus und benutze die tipps die ich bereits gegeben hab.
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar!
Die Norm von einer komplexen Zahl a + b*i ist die Norm sqrt(a^2 + b^2) oder?
Das ist der fall weil sich das i "rausqadriert". Hier kann ich das aber doch nicht so einfach machen, weil ich ja nicht nur i habe, sondern sqrt(k) oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab schonmal kopiert wie Du die Norm bereits richtig definiert hast. Wenn ich das nochmal machen muss bin ich weg.
Zitat:

und
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein, dass ich mich gerade etwas blöd anstelle, was mir auch auffallen wird, sobald ich die Aufgabe hinter mir haben, wie das immer ist!

Wenn ich das berücksichtige bekomme ich als Norm für a + sqrt(k)*b = sqrt(a^2 - k*b^2), stimmt das soweit?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss endlich die Wurzel rechts. böse
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann erhalte ich a^2 - k*b^2
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

a^2 -+ k*b^2
(3.Binomi)
oder schon mal eine komplexe Zahl mit negativem Betrag gesehen?
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe definitiv ein Verständnisproblem hier! Werde mich morgen nochmal mit dem kompletten Thread und der Aufgabe beschäftigen!
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin jetzt soweit, dass ich die Norm da stehen haben (a + sqrt(k)*b)(a - sqrt(k)*b). Das ist das Element a multipliziert mit seinem komplex konjugierten. Das bringt mir aber nicht viel, es sei denn ich könnte irgendwie sagen, dass das konjugierte dem Inversen entsprich, dann käme für alle Elemente aus O 1 heraus!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo highlander,
der galoisseinbruder ist noch nicht da, habe die sache hier mitverfolgt,
wir machen am besten mal weiter.
Also, die norm ist tatsächlich a^2-k*b^2, da waren bei euch ein paar verständigungsprobleme. Und in der aufgabe ging es darum zu zeigen,
das jedes invertierbare element alpha die norm 1 hat.
Jetzt überlege, wie jedes element aus diesem ring aussieht und berechne einfach
mal das inverse, das führt dann zum erfolg.
gruss ollie3
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Also die inverse ist 1/(a+sqrt(k)*b). Jetzt müsste man damit noch irgendwie schließen, dass das inverse von a gleich dem komplex konjugierten von a sein müsste! Oder?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo highlander,
ja, und das kann man machen, indem man den bruch geschickt erweitert und die 3.bin. formel
anwendet. Freude
gruss ollie3
Highlander1989 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn ich jetzt mit (a - sqrt(k)b) erwitere kann ich die 3. Bin Formel anwenden, allerdings kann ich daraus nicht schließen dass die konjugierte gleich der inversen ist, da die Norm zwar im Nenner steht Aber ich ja nicht weis dass es eins ergibt?? Das ist doch erst mein Ziel!
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo highlander,
ja das ist ja gerade trick bei der aufgabe: der neue bruch, der jetzt entstanden ist, kann nur
dann in diesem ring sein, wenn der nenner, der auch gleichzeitig die norm ist, gleich 1 ist.
Denn sonst könnte man den neuen bruch nicht in die form a+sqrt(k)b bringen.
(überleg dir mal warum?)
gruss ollie3
Highlander19899 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh wow! Ja klar jetzt ist mir das auch klar, ich habe mit Gewalt versucht, da etwas so umzuformen, dass ich das Gewünschte erhalten! Da saß ich aber mächtig auf dem Schlauch!

Vielen Dank!

Gruß
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