rationale bzw. irrationale zahlen

12.01.2007, 12:17

elf_daniel

rationale bzw. irrationale zahlen

Hallo,
hab eine kurze Aufgabe bekommen, weiss aber nicht, wie man damit anfangen kann.
Es wäre super wenn jemand mir helfen kann.

Danke.
Gruß
Daniel

Sei a<=a<b<=1.
Zeigen Sie, dass dann eine rationale Zahl x und eine irrationale Zahl y mit a<x<b und a<y<b existieren.

12.01.2007, 13:15

Dual Space

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RE: rationale bzw. irrationale zahlen
Wie weit kommst du denn alleine. Hast du eine Idee wie man da ran gehen könnte?

--> Prinzip "Mathe online verstehen!"

12.01.2007, 14:42

elf_daniel

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RE: rationale bzw. irrationale zahlen
na ja,
am Anfang habe ich so gedacht

wir nehmen an irgenwelche zahlen großer als 0 und kleiner als 1.

z.B. 0,12325643.......... = z

dann (ich weiss, dass es nur quatsch ist),

0
0,1
0,12
0,123
usw.
------------------- +
muss kleiner als 1 sein, und die summe ist eine irrationale zahl.

12.01.2007, 15:49

Dual Space

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RE: rationale bzw. irrationale zahlen
Mit anderen Worten hast du keinen blassen Schimmer, was zu tun ist.

Naja fangen wir also damit an:
Sei $\begin{eqnarray*} 0\leq a<b\leq 1 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es einen rationale Zahl $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a<x<b \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich zeige dir mal, wie man eine stärkere Aussage beweist, und zwar:
Sei $\begin{eqnarray*} \xi\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \xi>0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \xi-\varepsilon<q<\xi+\varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt.

Bemerkung: Der Satz gilt auch für $\begin{eqnarray*} \xi\leq 0 \end{eqnarray*}$ , aber das brauchst du ja nicht.

Beweis: Nach dem Satz des Archimedes (bin mir jetzt nicht sicher, ob der wirklich so heißt - ich meine jedenfalls den, der besagt, dass man zu jeder reellen Zahl stets eine größere natürliche Zahl findet) gibt es ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Daher genügt es zu zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \xi-\frac{1}{n}<q<\xi+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gibt.
Der Archimedische Satz (oder wie er jetzt auch immer heißen mag) liefert auch die Existenz (mindestens) eines $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m>n\xi \end{eqnarray*}$ . Alle diese $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kann man nun als Menge auffassen, also als die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{m\in\mathbb{N}:m>n\xi\} \end{eqnarray*}$ .
Nach dem Ordungsprinzip besitzt diese Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein kleinstes Element $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ und somit gilt $\begin{eqnarray*} k-1\leq n\xi< k \end{eqnarray*}$ . Definiert man nun $\begin{eqnarray*} q:=\frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ hat man also $\begin{eqnarray*} q-\frac{1}{n}\leq\xi<q \end{eqnarray*}$ , also insbesondere (wegen der linken Ungleichung) $\begin{eqnarray*} q\leq\xi+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und (wegen der rechten) $\begin{eqnarray*} \xi-\frac{1}{n}<q \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} _\blacksquare \end{eqnarray*}$

Aber eigentlich bin ich der Meinung, dass ihr die wesentlichen Sätze schon bewiesen habt und nur noch anwenden müsst.

12.01.2007, 16:05

elf_daniel

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Danke dir.
Das hilft sehr.
Satz von Archimedes bekommen wir noch nicht
Wir lernen gerade paar Sätze über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit.
So, ich hab den Zusammenhang nicht gefunden zwischen dem aktuellen Kapitel und der Aufgabe. ^_^"!

Es wäre sehr nett, wenn du hier posten willst, welche Bücher, Webseiten, usw. du empfehlen kannst, damit wir mathe gut lernen können.

schöne Grüße
Daniel

12.01.2007, 16:09

Dual Space

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Zitat:

Original von elf_daniel
Wir lernen gerade paar Sätze über Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit.

Die Sätze die ich meine kommen meist zu Beginn (also in den ersten beiden Wochen) des ersten Semesters - also weeeeiiiiit vor Stetigkeitskram.

Empfehlen kann ich dir evtl. den Heuser.

12.01.2007, 16:13

elf_daniel

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aha,
archimedes axiom meinst du???
smile

ach so,
gut,
du hast recht,
weit vor dem Stetigkeitkapitel

whew,
dieser Kopf ist ncht für Mathe glaube ich.
^_^"!

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