DGL 1. Ordnung mit Substitution und PBZ lösen

22.12.2011, 12:07

omg-7-deuce

DGL 1. Ordnung mit Substitution und PBZ lösen

Hallo allerseits,

ich habe eine DGL zu lösen, die mich mittlerweile zur Verzweiflung bringt. Ich habe keine Ahnung wo mein Fehler liegt. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Ich habe mich schon versucht im Forum anzumelden, allerdings noch keine eMail erhalten. Da es dringend ist muss ich die Fragen zunächst ohne Anmeldung stellen.

Zunächst einmal die DGL:

$\begin{eqnarray*} y'+ \left( \frac{y}{x} \right) ^2 = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Zunächst habe ich mit der Substitution gearbeitet:

$\begin{eqnarray*} u=\left( \frac{y}{x} \right) \Rightarrow y=u(x) \cdot x \Rightarrow y'=u(x)' \cdot x+u \end{eqnarray*}$

Das Ganze habe ich dann in meine DGL eingesetzt und das Folgende erhalten:

$\begin{eqnarray*} u' \cdot x+u+u^2=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Nun folgt eine Termumformung um x auf eine Seite, und den Rest auf die Andere zu bekommen. Um alles auf einen Bruchstrich zu bekommen habe ich u und u² Nennergleich gemacht und im Anschluss durch u' geteilt und die Funktion umgekehrt, um u' in den Zähler zu bekommen, was mich zu Folgendem gebracht hat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}=\frac{4 \cdot u'}{3-4u-4u^2} \Rightarrow \frac{1}{x}=4 \cdot \frac{\frac{du}{dx}}{3-4u-4u^2} \end{eqnarray*}$

Als Integral geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \int {\frac{1}{x}dx}=4 \cdot \int{\frac{1}{3-4u-4u^2}du} \end{eqnarray*}$

Das linke Integral ergibt:

$\begin{eqnarray*} \ln{x}+c_1 \end{eqnarray*}$

Doch beim Rechten fängt das eigentliche Problem an. Ich habe es mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst. Die Nullstellen sind

$\begin{eqnarray*} u_1=\frac{1}{2},~u_2=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Mein Koeffizientenvergleich liefert mir also das Folgende:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-4u-4u^2}=\frac{A}{u-\frac{1}{2}} + \frac{B}{u+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1=A \cdot u+B \cdot u+ \frac{3}{2} \cdot A-\frac{1}{2} \cdot B \Rightarrow A=\frac{1}{2},~B=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bei der darauf folgenden Integration habe ich also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int{\frac{1}{u-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{u+\frac{3}{2}}} \end{eqnarray*}$

Gelöst müsste also das Folgende herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \ln{ \left| u- \frac{1}{2} \right|} -\frac{1}{2} \cdot \ln{ \left| u+\frac{3}{2} \right| } \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \ln{ \left| \frac{u-\frac{1}{2}}{u+\frac{3}{2}} \right| } \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste noch eine Rücksubstitution, Umformung, etc. folgen. Meine Frage ist zunächst ob ich bis zu dieser Stelle richtig gerechnet habe.

Wolfram Alpha liefert mir ein anderes Ergebnis, bei dem ich nicht weiß, wieso da 1/8 vor steht und auch die Vorzeichen andere sind.

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.

Danke euch!

22.12.2011, 12:59

klarsoweit

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RE: DGL 1. Ordnung mit Substitution und PBZ lösen

Zitat:

Original von omg-7-deuce
Mein Koeffizientenvergleich liefert mir also das Folgende:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-4u-4u^2}=\frac{A}{u-\frac{1}{2}} + \frac{B}{u+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1=A \cdot u+B \cdot u+ \frac{3}{2} \cdot A-\frac{1}{2} \cdot B \Rightarrow A=\frac{1}{2},~B=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Es soll also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-4u-4u^2} = \frac{\frac 1 2}{u-\frac{1}{2}} - \frac{\frac 1 2}{u+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$ sein?

Da brauche ich ja nur mal u=0 einzusetzen, um zu sehen, daß das nicht stimmt.

22.12.2011, 14:13

omg-7-deuce

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Stimmt, auf die Idee bin ich noch gar nicht gekommen Hammer

Kannst du mir dann mal sagen, wo da mein Fehler liegt? Ich komme einfach nicht drauf...

22.12.2011, 15:59

klarsoweit

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Da mußt du schon etwas mehr von deiner Rechnung verraten.

22.12.2011, 17:40

omg-7-deuce

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Ok, ich poste mal meinen Rechenweg ab der PBZ, angefangen bei den Nullstellen.

Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-4u-4u^2} \end{eqnarray*}$

Nullstellen finden mit p/q - Formel:

$\begin{eqnarray*} 3-4u-4u^2~(:-4) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u^2+u-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4} }~\Rightarrow ~ u_1=\frac{1}{2},~u_2=-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die beiden Nullstellen in den Ansatz eingesetzt, was dann so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3-4u-4u^2}=\frac{A}{u-\frac{1}{2}} + \frac{B}{u+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Nun der Koeffizientenvergleich:

$\begin{eqnarray*} 1=A \cdot (u+\frac{3}{2}) + B \cdot (u-\frac{1}{2}) ~ \Rightarrow ~ 1=A \cdot u+B \cdot u+ \frac{3}{2} \cdot A-\frac{1}{2} \cdot B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u ~ \rightarrow ~ 0=A+B ~ \Rightarrow ~ A=-B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 ~ \rightarrow ~ 1=\frac{3}{2} \cdot A- \frac{1}{2} \cdot B ~ \Rightarrow ~ 1=2 \cdot A ~ \Rightarrow ~ A=\frac{1}{2} ~ \Rightarrow ~ B=- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das habe ich dann in den Ansatz eingestetzt und das Folgende erhalten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{u+\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Ich finde einfach den Fehler nicht. Bin mir sicher, dass es nur ne Kleinigkeit ist, aber ich verliere langsam die Nerven...

22.12.2011, 18:45

omg-7-deuce

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Kann es sein, dass ich das Ganze nochmal mal 1/4 nehmen muss, da in der Ausgangfunktion der Faktor 4 im Nenner gewesen ist, den ich bei der p/q-Formel entfernt habe? Also, dass da praktisch steht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{1}{2}\frac{1}{u-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\frac{1}{u+\frac{3}{2}} \right) \end{eqnarray*}$

Dann würde ich immerhin schon auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

kommen, wenn ich u=0 setze, was bedeutet, dass ich irgendwo "nur" noch einen Vorzeichenfehler habe. Gehe ich der Annahme da richtig?

23.12.2011, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von omg-7-deuce
Kann es sein, dass ich das Ganze nochmal mal 1/4 nehmen muss, da in der Ausgangfunktion der Faktor 4 im Nenner gewesen ist, den ich bei der p/q-Formel entfernt habe?

Das geht schon mal in die richtige Richtung. Mittels der Nullstellen bekommst du die Zerlegung:

$\begin{eqnarray*} 3-4u-4u^2 = -4 \cdot (u - \frac 1 2) \cdot (u + \frac 3 2) \end{eqnarray*}$

02.01.2012, 12:59

omg-7-deuce

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Habe die Integration hinbekommen. Lag tatsächlich an dem Faktor -4. Blöder Fehler, der mir aber wirklich ziemliches Kopfzerbrechen bereitet hat. smile

Jetzt hänge ich an der Umformung nach y fest. Ich brauche da auf jeden Fall nochmal eure Hilfe. Folgendes kommt also nach Integration und Beseitigung des ln raus:

$\begin{eqnarray*} x^2=\frac {2* \frac {y}{x}+3}{2* \frac {y}{x}-1} \end{eqnarray*}$

Mich verwirrt dieser Doppelbruch. Habe damit schon immer so meine Problemchen gehabt... Wie stelle ich das Ganze denn jetzt nach y um?

02.01.2012, 13:13

klarsoweit

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Habe das Ergebnis jetzt nicht überprüft. Was die Auflösung nach y angeht, multiplizierst du erstmal den lästigen Nenner weg und dann löst du nach y/x auf. Der Rest ist dann klar.

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