Teilmengen vom Kreuzprodukt ?

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Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »
Teilmengen vom Kreuzprodukt ?
Meine Frage:
Behauptung:
A,B,C seinen Mengen,
Für alle C Teilmenge AxB existiert ein A' Teilmenge von A und B' Teilmenge von B mit C = A' x B'


Meine Ideen:
Überlegung:
Die Aussage müsste stimmen, da, wenn man sich A und B als X und Y Achse vorstellt, dann ist C ein ein Viereck im Koordinatensystem. Jetzt kann man natürlich die X und Y Achse einschränken, sodass das Viereck immer noch in diesem Abschnitt liegt.
A
I
I
I----
I C I
-------------- B

A'
I----
I C I
----- B'

Beweis:
Ja keine Ahnung wie ich das Mathematisch Formulieren soll ;D
Hat vielleicht jemand einen Denkanstoß oder ein Anfang ?

Grüße
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte C ein Viereck sein? Zu dieser Annahme gibt es keinen Grund. Die Behuptung ist nämlich falsch, also suche lieber nach einem Gegenbeispiel.
Mengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist eine Teilmenge vom Kreuzprodukt ? müsste doch wieder ein Kreuzprodukt sein oder?

A={1,2,3}, B={1,2,3}
AxB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
C Teilmenge von AxB
z.B. C={(1,1)}

Und dann existiert doch ein A'={1} Teil. von A und ein B'={1} Teil. von B oder nicht?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jetzt eine Teilmenge angegeben, für die die Aussage stimmt. Das ist wenig verwunderlich, was wäre das denn für eine Aufgabe, bei der jedes Beispiel schon ein Gegenbeispiel wäre.

Aber das heißt doch noch lange nicht, dass das für alle Teilmengen gilt.
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

A={1,2}, B={1}, AxB={(1,2),(2,1)}
z.B. C = {(2,1)} Teil. von AxB
A'={2}, B'={1}
stimmt auch ich mein C ist ja immer "kleiner" oder gleich AxB damit sind die Elemente der Tupel (a,b) ja auch immer Teilmengen der Mengen, woraus sie gebildet werden. oder?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst mir jetzt noch stundenlang Beispiele geben, du wirst mich trotzdem nicht überzeugen Augenzwinkern

Nimm doch mal ein C was aus 2 Elementen besteht. Dann könnte es auch mal schiefgehen.
 
 
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

A={1,2,3}, B={1,2,3}
AxB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

C={(2,2),(2,3)}⊂AxB

A'={2}⊂A und B'={2,3}⊂B

stimmt doch wieder Big Laugh
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da du offensichtlich nicht über die Aufgabe nachdenken willst, sondern im Moment mehr nach Beispielen als nach Gegenbeispielen suchst, kann ich dir noch den Tipp geben, einfach mal ALLE 2-elementigen Teilmengen als C auszuprobieren. Du wirst auf Gegenbeispiele stoßen.


Wir können auch gerne von einem ganz anderen Standpunkt an die Aufgabe rangehen.

Nehme mal an A und B hätten beide genau 6 Elemente. Dann hat AxB 36 Elemente. Dann können wir natürlich eine Teilmenge C mit 7 Elementen daraus wählen.

Nehme nun an, es wäre C = A' x B'.

Wie viele Elemente müssten dann A' und B' haben?
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok ich glaub ich hab eins gefunden:
sei A={1,2,3}, B={1,2,3}
AxB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
Dann sei C={(1,1),(2,2),(1,3)} Teil. von AxB.

dann gibt es kein A' und B', dass C=A'xB' erfüllt,

da C={(a,b)/a e A', b e B'} -> A'={1,2}, B'={1,2,3} . Dann müsste aber auch (2,3) in C liegen. Wiederspruch -> Behauptung falsch

würde das so reichen als Beweis?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch schon besser aus. Wenn du Lust hast, kannst du ja noch Überlegungen zu meinem anderen Ansatz aus dem vorherigen Post anstellen.

Aber die Aufgabe hättest du damit jetzt gelöst.
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

Demnach müsste zu (deinem Ansatz) A' und B' jeweils sqrt(7) Elemente haben, was nicht geht, da #M e IN ist (ist bestimmt irgendeine Definition ;D).

Vielen Dank hast mir sehr geholfen
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollten A' und B' denn gleichgroß sein müssen?

Du hast richtig erkannt, dass das Produkt der Mächtigkeiten von A' und B' gerade 7 sein muss.
Da die Mächtigkeiten aber natürliche Zahlen sind, kommen nur welche Zahlen in Frage, deren Produkt 7 ist?
Teilmengenmännchen Auf diesen Beitrag antworten »

ahh ok stimmt müssen ja nicht gleich groß sein.
Also da 7 eine Prim. ist muss A' aus einem Element und B' 7 Elementen bestehen (oder andersrum)
und wenn #B'=7 ist kann das keine Teil. von B sein, da #B=6 ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. So sieht man dann auch, dass die Aussage aus der Aufgabe falsch sein muss, ohne, dass man ein Gegenbeispiel angegeben hat.
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